Theorem decsmf 40975

Description: A real-valued, non-increasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
decsmf.y	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
decsmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
decsmf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
decsmf.i	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
decsmf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
decsmf.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
decsmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem decsmf

Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. 2 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
2		decsmf.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 22565	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		decsmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
7	5, 6	salgencld 40567	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ SAlg)
8		decsmf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9	5, 6	unisalgen2 40572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐽)
10	2	unieqi 4445	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,)))
12		uniretop 22566	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
13	12	eqcomi 2631	. . . . 5 ⊢ ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ (topGen‘ran (,)) = ℝ)
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2661	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ = ∪ 𝐵)
16	8, 15	sseqtrd 3641	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
17		decsmf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18		decsmf.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
19		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑎 ∈ ℝ
20	18, 19	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
21		decsmf.y	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
22		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑎 ∈ ℝ
23	21, 22	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ)
24	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
25	17	frexr 39604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
26	25	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
27		decsmf.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
28		breq1 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑦))
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑤))
30	29	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)))
31	28, 30	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤))))
32		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑤 ≤ 𝑦 ↔ 𝑤 ≤ 𝑧))
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
34	33	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
35	32, 34	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑤 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑤)) ↔ (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))))
36	31, 35	cbvral2v 3179	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
37	27, 36	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
38	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑤 ≤ 𝑧 → (𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
39	38, 36	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
40		rexr 10085	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
41	40	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
42		eqid 2622	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
43		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
44	43	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑎 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)))
45	44	cbvrabv 3199	. . . . 5 ⊢ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}
46	45	supeq1i 8353	. . . 4 ⊢ sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ) = sup({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)}, ℝ*, < )
47		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,)sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
48		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < )) = (-∞(,]sup({𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑤)}, ℝ*, < ))
49	20, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48	decsmflem 40974	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴))
50	7	elexd 3214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
51		reex 10027	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
53	52, 8	ssexd 4805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
54		elrest 16088	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
55	50, 53, 54	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
56	55	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = (𝑏 ∩ 𝐴)))
57	49, 56	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝐵 ↾t 𝐴))
58	1, 7, 16, 17, 57	issmfgtd 40969	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℝcr 9935  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  (,)cioo 12175  (,]cioc 12176   ↾_t crest 16081  topGenctg 16098  Topctop 20698  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by: (None)