Theorem decsmf 40975

Description: A real-valued, non-increasing function is Borel measurable. Proposition 121D (c) of [Fremlin1] p. 36 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsmf.x	|- F/ x ph
decsmf.y	|- F/ y ph
decsmf.a	|- ( ph -> A C_ RR )
decsmf.f	|- ( ph -> F : A --> RR )
decsmf.i	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
decsmf.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
decsmf.b	|- B = (SalGen ` J )

Assertion

Ref	Expression
decsmf	|- ( ph -> F e. (SMblFn ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, F, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( x, y)   J( x, y)

Proof of Theorem decsmf

Dummy variables b w z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. 2 |- F/ a ph
2		decsmf.j	. . . . 5 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		retop 22565	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
4	2, 3	eqeltri 2697	. . . 4 |- J e. Top
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> J e. Top )
6		decsmf.b	. . 3 |- B = (SalGen ` J )
7	5, 6	salgencld 40567	. 2 |- ( ph -> B e. SAlg )
8		decsmf.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
9	5, 6	unisalgen2 40572	. . . 4 |- ( ph -> U. B = U. J )
10	2	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. J = U. ( topGen ` ran (,) )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U. J = U. ( topGen ` ran (,) ) )
12		uniretop 22566	. . . . . 6 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
13	12	eqcomi 2631	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ran (,) ) = RR
14	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> U. ( topGen ` ran (,) ) = RR )
15	9, 11, 14	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ph -> RR = U. B )
16	8, 15	sseqtrd 3641	. 2 |- ( ph -> A C_ U. B )
17		decsmf.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> RR )
18		decsmf.x	. . . . 5 |- F/ x ph
19		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ x a e. RR
20	18, 19	nfan 1828	. . . 4 |- F/ x ( ph /\ a e. RR )
21		decsmf.y	. . . . 5 |- F/ y ph
22		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y a e. RR
23	21, 22	nfan 1828	. . . 4 |- F/ y ( ph /\ a e. RR )
24	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> A C_ RR )
25	17	frexr 39604	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> RR* )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> F : A --> RR* )
27		decsmf.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
28		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x <_ y <-> w <_ y ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
30	29	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ( F ` y ) <_ ( F ` x ) <-> ( F ` y ) <_ ( F ` w ) ) )
31	28, 30	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) <-> ( w <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` w ) ) ) )
32		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( w <_ y <-> w <_ z ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
34	33	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) <_ ( F ` w ) <-> ( F ` z ) <_ ( F ` w ) ) )
35	32, 34	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( w <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` w ) ) <-> ( w <_ z -> ( F ` z ) <_ ( F ` w ) ) ) )
36	31, 35	cbvral2v 3179	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) <-> A. w e. A A. z e. A ( w <_ z -> ( F ` z ) <_ ( F ` w ) ) )
37	27, 36	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A. w e. A A. z e. A ( w <_ z -> ( F ` z ) <_ ( F ` w ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> A. w e. A A. z e. A ( w <_ z -> ( F ` z ) <_ ( F ` w ) ) )
39	38, 36	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> A. x e. A A. y e. A ( x <_ y -> ( F ` y ) <_ ( F ` x ) ) )
40		rexr 10085	. . . . 5 |- ( a e. RR -> a e. RR* )
41	40	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> a e. RR* )
42		eqid 2622	. . . 4 |- { x e. A | a < ( F ` x ) } = { x e. A | a < ( F ` x ) }
43		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( F ` w ) = ( F ` x ) )
44	43	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( a < ( F ` w ) <-> a < ( F ` x ) ) )
45	44	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { w e. A | a < ( F ` w ) } = { x e. A | a < ( F ` x ) }
46	45	supeq1i 8353	. . . 4 |- sup ( { w e. A | a < ( F ` w ) } , RR* , < ) = sup ( { x e. A | a < ( F ` x ) } , RR* , < )
47		eqid 2622	. . . 4 |- ( -oo (,) sup ( { w e. A | a < ( F ` w ) } , RR* , < ) ) = ( -oo (,) sup ( { w e. A | a < ( F ` w ) } , RR* , < ) )
48		eqid 2622	. . . 4 |- ( -oo (,] sup ( { w e. A | a < ( F ` w ) } , RR* , < ) ) = ( -oo (,] sup ( { w e. A | a < ( F ` w ) } , RR* , < ) )
49	20, 23, 24, 26, 39, 2, 6, 41, 42, 46, 47, 48	decsmflem 40974	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> E. b e. B { x e. A | a < ( F ` x ) } = ( b i^i A ) )
50	7	elexd 3214	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
51		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
52	51	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. _V )
53	52, 8	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
54		elrest 16088	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ A e. _V ) -> ( { x e. A | a < ( F ` x ) } e. ( B ↾t A ) <-> E. b e. B { x e. A | a < ( F ` x ) } = ( b i^i A ) ) )
55	50, 53, 54	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. A | a < ( F ` x ) } e. ( B ↾t A ) <-> E. b e. B { x e. A | a < ( F ` x ) } = ( b i^i A ) ) )
56	55	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( { x e. A | a < ( F ` x ) } e. ( B ↾t A ) <-> E. b e. B { x e. A | a < ( F ` x ) } = ( b i^i A ) ) )
57	49, 56	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> { x e. A | a < ( F ` x ) } e. ( B ↾t A ) )
58	1, 7, 16, 17, 57	issmfgtd 40969	1 |- ( ph -> F e. (SMblFn ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by: (None)