Theorem deg1leb 23855

Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1leb	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem deg1leb

Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 23840	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19565	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19555	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 23821	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegleb 23824	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
12		df1o2 7572	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 = {∅}
13		nn0ex 11298	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
14		0ex 4790	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
15		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)) = (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))
16	12, 13, 14, 15	mapsnf1o2 7905	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
17		f1ofo 6144	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
18		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) ↔ 𝐺 < 𝑥))
19		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘𝑥))
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐴‘𝑥) = 0 ))
21	18, 20	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = 𝑥 → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
22	21	cbvfo 6544	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅)):(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))
23	16, 17, 22	mp2b 10	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ))
24		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏‘∅) = (𝑦‘∅))
25		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦‘∅) ∈ V
26	24, 15, 25	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) = (𝑦‘∅))
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
28	27	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
29		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
30	29	fvcoe1 19577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
31	30	adantlr 751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐴‘(𝑦‘∅)))
32	28, 31	eqtr4d 2659	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = (𝐹‘𝑦))
33	32	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑦) = 0 ))
34	33	imbi2d 330	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) → ((𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ (𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
35	34	ralbidva 2985	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐴‘((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦)) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
36	23, 35	syl5bbr 274	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)(𝐺 < ((𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑏‘∅))‘𝑦) → (𝐹‘𝑦) = 0 )))
37	11, 36	bitr4d 271	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝐺 < 𝑥 → (𝐴‘𝑥) = 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  deg1lt  23857  deg1tmle  23877