Theorem deg1val 23856

Description: Value of the univariate degree as a supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1leb.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1leb.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1leb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1leb.y	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
deg1leb.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1val	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Proof of Theorem deg1val

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1leb.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2	1	deg1fval 23840	. . 3 ⊢ 𝐷 = (1𝑜 mDeg 𝑅)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
4		deg1leb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
6		deg1leb.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
7	4, 5, 6	ply1bas 19565	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
8		deg1leb.y	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1baslem 19555	. . 3 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑦 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
10		tdeglem2 23821	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (ℂfld Σg 𝑥))
11	2, 3, 7, 8, 9, 10	mdegval 23823	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
12		fvex 6201	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	8, 12	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14		suppimacnv 7306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
15	13, 14	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp 0 ) = (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
16	15	imaeq2d 5466	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 }))))
17		imaco 5640	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (◡𝐹 “ (V ∖ { 0 })))
18	16, 17	syl6eqr 2674	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })))
19		deg1leb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
20		df1o2 7572	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 = {∅}
21		nn0ex 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
22		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
23		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))
24	20, 21, 22, 23	mapsncnv 7904	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
25	19, 6, 4, 24	coe1fval2 19580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
26	25	cnveqd 5298	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ◡𝐴 = ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))))
27		cnvco 5308	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) = (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
28		cocnvcnv1 5646	. . . . . . . 8 ⊢ (◡◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
29	27, 28	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝐹 ∘ ◡(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅))) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹)
30	26, 29	syl6req 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) = ◡𝐴)
31	30	imaeq1d 5465	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) ∘ ◡𝐹) “ (V ∖ { 0 })) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
32	18, 31	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
33		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) ∈ V
34	19, 33	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
35		suppimacnv 7306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐴 supp 0 ) = (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })))
36	35	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 ))
37	34, 13, 36	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 “ (V ∖ { 0 })) = (𝐴 supp 0 )
38	32, 37	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )) = (𝐴 supp 0 ))
39	38	supeq1d 8352	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝑥‘∅)) “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))
40	11, 39	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐴 supp 0 ), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571  ∅c0 3915  {csn 4177   ↦ cmpt 4729  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117   ∘ ccom 5118  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295  1_𝑜c1o 7553   ↑_𝑚 cmap 7857  supcsup 8346  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  0_gc0g 16100   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  deg1mul3  23875  deg1mul3le  23876