Proof of Theorem 2lgslem3c
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2lgslem2.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 /
4))) |
2 | | oveq1 6657 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) −
1)) |
3 | 2 | oveq1d 6665 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8
· 𝐾) + 5) − 1)
/ 2)) |
4 | | oveq1 6657 |
. . . . 5
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 5) / 4)) |
5 | 4 | fveq2d 6195 |
. . . 4
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) →
(⌊‘(𝑃 / 4)) =
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) |
6 | 3, 5 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) −
(⌊‘(𝑃 / 4))) =
(((((8 · 𝐾) + 5)
− 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))) |
7 | 1, 6 | syl5eq 2668 |
. 2
⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) −
(⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))) |
8 | | 8nn0 11315 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℕ0) |
10 | | id 22 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℕ0) |
11 | 9, 10 | nn0mulcld 11356 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
12 | 11 | nn0cnd 11353 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾)
∈ ℂ) |
13 | | 5cn 11100 |
. . . . . . . . 9
⊢ 5 ∈
ℂ |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 5 ∈ ℂ) |
15 | | 1cnd 10056 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℂ) |
16 | 12, 14, 15 | addsubassd 10412 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1))) |
17 | | 4t2e8 11181 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (4
· 2) = 8 |
18 | 17 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 = (4
· 2) |
19 | 18 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 = (4 · 2)) |
20 | 19 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 2) · 𝐾)) |
21 | | 4cn 11098 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℂ) |
23 | | 2cn 11091 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℂ |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℂ) |
25 | | nn0cn 11302 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 𝐾 ∈
ℂ) |
26 | 22, 24, 25 | mul32d 10246 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2)) |
27 | 20, 26 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 · 𝐾) = ((4
· 𝐾) ·
2)) |
28 | | df-5 11082 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 5 = (4 +
1) |
29 | 28 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (5
− 1) = ((4 + 1) − 1) |
30 | | pncan1 10454 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (4 ∈
ℂ → ((4 + 1) − 1) = 4) |
31 | 21, 30 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((4 + 1)
− 1) = 4 |
32 | 29, 31 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ (5
− 1) = 4 |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (5 − 1) = 4) |
34 | 27, 33 | oveq12d 6668 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) + (5
− 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4)) |
35 | 16, 34 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4)) |
36 | 35 | oveq1d 6665 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2)) |
37 | | 4nn0 11311 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
38 | 37 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ0) |
39 | 38, 10 | nn0mulcld 11356 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
40 | 39 | nn0cnd 11353 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾)
∈ ℂ) |
41 | 40, 24 | mulcld 10060 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
· 2) ∈ ℂ) |
42 | | 2rp 11837 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℝ+) |
44 | 43 | rpcnne0d 11881 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) |
45 | | divdir 10710 |
. . . . . 6
⊢ ((((4
· 𝐾) · 2)
∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 /
2))) |
46 | 41, 22, 44, 45 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 /
2))) |
47 | | 2ne0 11113 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
49 | 40, 24, 48 | divcan4d 10807 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
· 2) / 2) = (4 · 𝐾)) |
50 | | 4d2e2 11184 |
. . . . . . 7
⊢ (4 / 2) =
2 |
51 | 50 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 / 2) = 2) |
52 | 49, 51 | oveq12d 6668 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((4 · 𝐾)
· 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2)) |
53 | 36, 46, 52 | 3eqtrd 2660 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2)) |
54 | | 4ne0 11117 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ≠
0 |
55 | 21, 54 | pm3.2i 471 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
ℂ ∧ 4 ≠ 0) |
56 | 55 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) |
57 | | divdir 10710 |
. . . . . . . 8
⊢ (((8
· 𝐾) ∈ ℂ
∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8
· 𝐾) + 5) / 4) =
(((8 · 𝐾) / 4) + (5
/ 4))) |
58 | 12, 14, 56, 57 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) / 4) = (((8 · 𝐾)
/ 4) + (5 / 4))) |
59 | | 8cn 11106 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 8 ∈
ℂ |
60 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 8 ∈ ℂ) |
61 | | div23 10704 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((8
∈ ℂ ∧ 𝐾
∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 ·
𝐾) / 4) = ((8 / 4) ·
𝐾)) |
62 | 60, 25, 56, 61 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= ((8 / 4) · 𝐾)) |
63 | 18 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (8 / 4) =
((4 · 2) / 4) |
64 | 23, 21, 54 | divcan3i 10771 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((4
· 2) / 4) = 2 |
65 | 63, 64 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (8 / 4) =
2 |
66 | 65 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (8 / 4) = 2) |
67 | 66 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 / 4) · 𝐾)
= (2 · 𝐾)) |
68 | 62, 67 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((8 · 𝐾) / 4)
= (2 · 𝐾)) |
69 | 68 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) /
4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4))) |
70 | 58, 69 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((8 · 𝐾) +
5) / 4) = ((2 · 𝐾) +
(5 / 4))) |
71 | 70 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 ·
𝐾) + (5 /
4)))) |
72 | | 1lt4 11199 |
. . . . . 6
⊢ 1 <
4 |
73 | | 2nn0 11309 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
74 | 73 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℕ0) |
75 | 74, 10 | nn0mulcld 11356 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℕ0) |
76 | 75 | nn0zd 11480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℤ) |
77 | 76 | peano2zd 11485 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝐾) + 1)
∈ ℤ) |
78 | | 1nn0 11308 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 1 ∈ ℕ0) |
80 | | 4nn 11187 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
ℕ |
81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ∈ ℕ) |
82 | | adddivflid 12619 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((2
· 𝐾) + 1) ∈
ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1
< 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
83 | 77, 79, 81, 82 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
84 | 24, 25 | mulcld 10060 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
85 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 ≠ 0) |
86 | 22, 85 | reccld 10794 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 / 4) ∈ ℂ) |
87 | 84, 15, 86 | addassd 10062 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝐾) +
1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4)))) |
88 | 28 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (5 / 4) =
((4 + 1) / 4) |
89 | | ax-1cn 9994 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℂ |
90 | 21, 89, 21, 54 | divdiri 10782 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((4 + 1)
/ 4) = ((4 / 4) + (1 / 4)) |
91 | 21, 54 | dividi 10758 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (4 / 4) =
1 |
92 | 91 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((4 / 4)
+ (1 / 4)) = (1 + (1 / 4)) |
93 | 88, 90, 92 | 3eqtri 2648 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (5 / 4) =
(1 + (1 / 4)) |
94 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))) |
95 | 94 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 + (1 / 4)) = (5 / 4)) |
96 | 95 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝐾) + (1
+ (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4))) |
97 | 87, 96 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((2 · 𝐾) +
1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4))) |
98 | 97 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = (⌊‘((2
· 𝐾) + (5 /
4)))) |
99 | 98 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2
· 𝐾) + (5 / 4))) =
((2 · 𝐾) +
1))) |
100 | 83, 99 | bitrd 268 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))) |
101 | 72, 100 | mpbii 223 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
102 | 71, 101 | eqtrd 2656 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
103 | 53, 102 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 ·
𝐾) + 1))) |
104 | 75 | nn0cnd 11353 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 · 𝐾)
∈ ℂ) |
105 | 40, 24, 104, 15 | addsub4d 10439 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾) +
2) − ((2 · 𝐾)
+ 1)) = (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
(2 − 1))) |
106 | | 2t2e4 11177 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (2
· 2) = 4 |
107 | 106 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 = (2
· 2) |
108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ 4 = (2 · 2)) |
109 | 108 | oveq1d 6665 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = ((2
· 2) · 𝐾)) |
110 | 24, 24, 25 | mulassd 10063 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾))) |
111 | 109, 110 | eqtrd 2656 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (4 · 𝐾) = (2
· (2 · 𝐾))) |
112 | 111 | oveq1d 6665 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾))) |
113 | | 2txmxeqx 11149 |
. . . . . 6
⊢ ((2
· 𝐾) ∈ ℂ
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
114 | 104, 113 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾)) |
115 | 112, 114 | eqtrd 2656 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ ((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) =
(2 · 𝐾)) |
116 | | 2m1e1 11135 |
. . . . 5
⊢ (2
− 1) = 1 |
117 | 116 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (2 − 1) = 1) |
118 | 115, 117 | oveq12d 6668 |
. . 3
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((4 · 𝐾)
− (2 · 𝐾)) +
(2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
119 | 103, 105,
118 | 3eqtrd 2660 |
. 2
⊢ (𝐾 ∈ ℕ0
→ (((((8 · 𝐾) +
5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)) |
120 | 7, 119 | sylan9eqr 2678 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0
∧ 𝑃 = ((8 ·
𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1)) |