Theorem 2lgslem3d 25124

Description: Lemma for 2lgslem3d1 25128. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
3	2	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 7) / 4))
5	4	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
6	3, 5	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7	1, 6	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
8		8nn0 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13		7cn 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
15		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	addsubassd 10412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
17		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
18	17	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	22, 24, 25	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27	20, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28		df-7 11084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = (6 + 1)
29	28	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 − 1) = ((6 + 1) − 1)
30		6cn 11102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		pncan1 10454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℂ → ((6 + 1) − 1) = 6)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 + 1) − 1) = 6
33	29, 32	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
35	27, 34	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
36	16, 35	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
37	36	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
38		4nn0 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
40	39, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
41	40	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
42	41, 24	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
43	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
44		2rp 11837	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
46	45	rpcnne0d 11881	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
47		divdir 10710	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
49		2ne0 11113	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
51	41, 24, 50	divcan4d 10807	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
52		3t2e6 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
53	52	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (3 · 2)
54	53	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
55		3cn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
56	55, 23, 49	divcan4i 10772	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
57	54, 56	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (6 / 2) = 3
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
59	51, 58	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
60	37, 48, 59	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
61		4ne0 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
62	21, 61	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
64		divdir 10710	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
65	12, 14, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
66		8cn 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
68		div23 10704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
69	67, 25, 63, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
70	18	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
71	23, 21, 61	divcan3i 10771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
72	70, 71	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
75	69, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
77	65, 76	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
78	77	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
79		3lt4 11197	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
80		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
82	81, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
83	82	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
84	83	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
85		3nn0 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
87		4nn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
89		adddivflid 12619	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
90	84, 86, 88, 89	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
91	24, 25	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
92	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
93	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
94	92, 22, 93	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
95	91, 15, 94	addassd 10062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
96		4p3e7 11163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + 3) = 7
97	96	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 = (4 + 3)
98	97	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
99	21, 55, 21, 61	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
100	21, 61	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 / 4) = 1
101	100	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
102	98, 99, 101	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
105	104	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
106	95, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
108	107	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
109	90, 108	bitrd 268	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
110	79, 109	mpbii 223	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
111	78, 110	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
112	60, 111	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
113	82	nn0cnd 11353	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
114	41, 92, 113, 15	addsub4d 10439	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
115		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
116	115	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
118	117	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
119	24, 24, 25	mulassd 10063	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
120	118, 119	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
121	120	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
122		2txmxeqx 11149	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
123	113, 122	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
124	121, 123	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
125		3m1e2 11137	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
126	125	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
127	124, 126	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
128	112, 114, 127	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
129	7, 128	sylan9eqr 2678	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ⌊cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  25128