Theorem 2lgslem3b 25122

Description: Lemma for 2lgslem3b1 25126. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 3) − 1))
3	2	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2))
4		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 3) / 4))
5	4	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)))
6	3, 5	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
7	1, 6	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))))
8		8nn0 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13		3cn 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
15		1cnd 10056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	addsubassd 10412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = ((8 · 𝐾) + (3 − 1)))
17		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
18	17	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	22, 24, 25	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27	20, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28		3m1e2 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
30	27, 29	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (3 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
31	16, 30	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 2))
32	31	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2))
33		4nn0 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
35	34, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
37	36, 24	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
38		2rp 11837	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
40	39	rpcnne0d 11881	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
41		divdir 10710	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
42	37, 24, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 2) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)))
43		2ne0 11113	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
45	36, 24, 44	divcan4d 10807	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
46		2div2e1 11150	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 / 2) = 1)
48	45, 47	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (2 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 1))
49	32, 42, 48	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 1))
50		4ne0 11117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
51	21, 50	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
53		divdir 10710	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
54	12, 14, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)))
55		8cn 11106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
57		div23 10704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
58	56, 25, 52, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
59	18	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
60	23, 21, 50	divcan3i 10771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
61	59, 60	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
64	58, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
66	54, 65	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 3) / 4) = ((2 · 𝐾) + (3 / 4)))
67	66	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))))
68		3lt4 11197	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
69		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
71	70, 10	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
72	71	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
73		3nn0 11310	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
75		4nn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
77		adddivflid 12619	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
78	72, 74, 76, 77	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾)))
79	68, 78	mpbii 223	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (3 / 4))) = (2 · 𝐾))
80	67, 79	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4)) = (2 · 𝐾))
81	49, 80	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)))
82	71	nn0cnd 11353	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
83	36, 15, 82	addsubd 10413	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 1) − (2 · 𝐾)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1))
84		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
85	84	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
88	24, 24, 25	mulassd 10063	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
89	87, 88	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
90	89	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
91		2txmxeqx 11149	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
92	82, 91	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
93	90, 92	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
94	93	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + 1) = ((2 · 𝐾) + 1))
95	81, 83, 94	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 3) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 3) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
96	7, 95	sylan9eqr 2678	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 3)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  8c8 11076  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℝ⁺crp 11832  ⌊cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  2lgslem3b1  25126