Theorem eulerpartlemgf 30441

Description: Lemma for eulerpart 30444: Images under 𝐺 have finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
eulerpart.r	⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
eulerpart.t	⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
eulerpart.g	⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlemgf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝐴,𝑜   𝑜,𝐹   𝑜,𝐻,𝑟   𝑓,𝐽   𝑛,𝑟,𝐽,𝑜,𝑥,𝑦   𝑜,𝑀,𝑟   𝑓,𝑁,𝑔,𝑥   𝑃,𝑔,𝑛   𝑅,𝑓,𝑜   𝑇,𝑓,𝑜

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑜,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑔,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑜,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlemgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
2		eulerpart.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
3		eulerpart.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
4		eulerpart.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
5		eulerpart.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
6		eulerpart.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7		eulerpart.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
8		eulerpart.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = {𝑓 ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		eulerpart.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 ℕ) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 𝐽}
10		eulerpart.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑜 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) ↦ ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝑜 ↾ 𝐽))))))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemgv 30435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) = ((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
12	11	cnveqd 5298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ◡(𝐺‘𝐴) = ◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))))
13	12	imaeq1d 5465	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}))
14		nnex 11026	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
15		imassrn 5477	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ran 𝐹
16	4, 5	oddpwdc 30416	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ
17		f1of 6137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)–1-1-onto→ℕ → 𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ)
18		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → ran 𝐹 ⊆ ℕ)
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran 𝐹 ⊆ ℕ
20	15, 19	sstri 3612	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ
21		indpi1 30082	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ⊆ ℕ) → (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
22	14, 20, 21	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (◡((𝟭‘ℕ)‘(𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))))
23	13, 22	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) = (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))))
24		ffun 6048	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(𝐽 × ℕ0)⟶ℕ → Fun 𝐹)
25	16, 17, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
26		inss2 3834	. . . . 5 ⊢ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartlemmf 30437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eulerpartlem1 30429	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
29		f1of 6137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) → 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀:𝐻⟶(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
31	30	ffvelrni 6358	. . . . . 6 ⊢ ((bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)) ∈ 𝐻 → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
32	27, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ (𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
33	26, 32	sseldi 3601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin)
34		imafi 8259	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽))) ∈ Fin) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐹 “ (𝑀‘(bits ∘ (𝐴 ↾ 𝐽)))) ∈ Fin)
36	23, 35	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	eulerpartgbij 30434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
38		f1of 6137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)–1-1-onto→(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺:(𝑇 ∩ 𝑅)⟶(({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅)
40	39	ffvelrni 6358	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅))
41		elin 3796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) ↔ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ 𝑅))
42	41	simplbi 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (({0, 1} ↑𝑚 ℕ) ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ))
43		elmapi 7879	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℕ) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
44	40, 42, 43	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1})
45		ffun 6048	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → Fun (𝐺‘𝐴))
46	44, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → Fun (𝐺‘𝐴))
47		ssv 3625	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ V
48		dfn2 11305	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
49		ssdif 3745	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → (ℕ0 ∖ {0}) ⊆ (V ∖ {0}))
50	48, 49	syl5eqss 3649	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ V → ℕ ⊆ (V ∖ {0}))
51	47, 50	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (V ∖ {0})
52		sspreima 29447	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐺‘𝐴) ∧ ℕ ⊆ (V ∖ {0})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
53	46, 51, 52	sylancl 694	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
54		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (𝐺‘𝐴) ∈ V
55		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
56		suppimacnv 7306	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐴) ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})))
57	54, 55, 56	mp2an 708	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0}))
58		0ne1 11088	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
59		difprsn1 4330	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≠ 1 → ({0, 1} ∖ {0}) = {1})
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 1} ∖ {0}) = {1}
61	60	eqcomi 2631	. . . . . . 7 ⊢ {1} = ({0, 1} ∖ {0})
62	61	ffs2 29503	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ (𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1}) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
63	14, 55, 62	mp3an12 1414	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴):ℕ⟶{0, 1} → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
64	44, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → ((𝐺‘𝐴) supp 0) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
65	57, 64	syl5eqr 2670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ (V ∖ {0})) = (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
66	53, 65	sseqtrd 3641	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1}))
67		ssfi 8180	. 2 ⊢ (((◡(𝐺‘𝐴) “ {1}) ∈ Fin ∧ (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ⊆ (◡(𝐺‘𝐴) “ {1})) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)
68	36, 66, 67	syl2anc 693	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑇 ∩ 𝑅) → (◡(𝐺‘𝐴) “ ℕ) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653  {copab 4712   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   supp csupp 7295   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860  Σcsu 14416   ∥ cdvds 14983  bitscbits 15141  𝟭cind 30072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-ind 30073

This theorem is referenced by:  eulerpartlemgs2  30442