Theorem fmtno5fac 41494

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	|- (FermatNo ` 5 ) = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ;; 6 4 1 )

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11311	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN0
2		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
3	1, 2	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 |- ; 4 2 e. NN0
4		8nn0 11315	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. NN0
5	3, 4	deccl 11512	. . . . . . . . 9 |- ;; 4 2 8 e. NN0
6	5, 4	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ;;; 4 2 8 8 e. NN0
7	6, 2	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ;;;; 4 2 8 8 2 e. NN0
8		6nn0 11313	. . . . . . 7 |- 6 e. NN0
9	7, 8	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;;;; 4 2 8 8 2 6 e. NN0
10	9, 8	deccl 11512	. . . . 5 |- ;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 e. NN0
11	10, 4	deccl 11512	. . . 4 |- ;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 e. NN0
12	11, 4	deccl 11512	. . 3 |- ;;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 8 e. NN0
13		0nn0 11307	. . 3 |- 0 e. NN0
14		7nn0 11314	. . . . . . . 8 |- 7 e. NN0
15	8, 14	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ; 6 7 e. NN0
16	15, 13	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;; 6 7 0 e. NN0
17	16, 13	deccl 11512	. . . . 5 |- ;;; 6 7 0 0 e. NN0
18	17, 1	deccl 11512	. . . 4 |- ;;;; 6 7 0 0 4 e. NN0
19		1nn0 11308	. . . 4 |- 1 e. NN0
20	18, 19	deccl 11512	. . 3 |- ;;;;; 6 7 0 0 4 1 e. NN0
21		fmtno5faclem3 41493	. . . 4 |- (;;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 0 + ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 ) = ;;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 8
22	21	deceq1i 11504	. . 3 |- ; (;;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 0 + ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 ) 0 = ;;;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 8 0
23		eqid 2622	. . 3 |- ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 = ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7
24		eqid 2622	. . . 4 |- ;;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 8 = ;;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 8
25		eqid 2622	. . . 4 |- ;;;;; 6 7 0 0 4 1 = ;;;;; 6 7 0 0 4 1
26		eqid 2622	. . . . 5 |- ;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 = ;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8
27		eqid 2622	. . . . 5 |- ;;;; 6 7 0 0 4 = ;;;; 6 7 0 0 4
28		9nn0 11316	. . . . . . . . . 10 |- 9 e. NN0
29	3, 28	deccl 11512	. . . . . . . . 9 |- ;; 4 2 9 e. NN0
30	29, 1	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ;;; 4 2 9 4 e. NN0
31	30, 28	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ;;;; 4 2 9 4 9 e. NN0
32	31, 8	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;;;; 4 2 9 4 9 6 e. NN0
33		6p1e7 11156	. . . . . 6 |- ( 6 + 1 ) = 7
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 = ;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6
35		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ;;; 6 7 0 0 = ;;; 6 7 0 0
36		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ;;;;; 4 2 8 8 2 6 = ;;;;; 4 2 8 8 2 6
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ;; 6 7 0 = ;; 6 7 0
38		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ;;;; 4 2 8 8 2 = ;;;; 4 2 8 8 2
39		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ; 6 7 = ; 6 7
40		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ;;; 4 2 8 8 = ;;; 4 2 8 8
41		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . 11 |- ( 8 + 1 ) = 9
42		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ;; 4 2 8 = ;; 4 2 8
43	3, 4, 41, 42	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 |- (;; 4 2 8 + 1 ) = ;; 4 2 9
44		8p6e14 11616	. . . . . . . . . 10 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 11580	. . . . . . . . 9 |- (;;; 4 2 8 8 + 6 ) = ;;; 4 2 9 4
46		7cn 11104	. . . . . . . . . 10 |- 7 e. CC
47		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
48		7p2e9 11172	. . . . . . . . . 10 |- ( 7 + 2 ) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 7 ) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 11570	. . . . . . . 8 |- (;;;; 4 2 8 8 2 + ; 6 7 ) = ;;;; 4 2 9 4 9
51		6cn 11102	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
52	51	addid1i 10223	. . . . . . . 8 |- ( 6 + 0 ) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 11570	. . . . . . 7 |- (;;;;; 4 2 8 8 2 6 + ;; 6 7 0 ) = ;;;;; 4 2 9 4 9 6
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 11570	. . . . . 6 |- (;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 + ;;; 6 7 0 0 ) = ;;;;;; 4 2 9 4 9 6 6
55	32, 8, 33, 54	decsuc 11535	. . . . 5 |- ( (;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 + ;;; 6 7 0 0 ) + 1 ) = ;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7
56		8p4e12 11614	. . . . 5 |- ( 8 + 4 ) = ; 1 2
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 11572	. . . 4 |- (;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 + ;;;; 6 7 0 0 4 ) = ;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 11570	. . 3 |- (;;;;;;;; 4 2 8 8 2 6 6 8 8 + ;;;;; 6 7 0 0 4 1 ) = ;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9
59	46	addid2i 10224	. . 3 |- ( 0 + 7 ) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 11570	. 2 |- (; (;;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 0 + ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 ) 0 + ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7
61	8, 1	deccl 11512	. . 3 |- ; 6 4 e. NN0
62	20, 14	deccl 11512	. . 3 |- ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 e. NN0
63		fmtno5faclem2 41492	. . . . . 6 |- (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. 6 ) = ;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2
64	63	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. 6 )
65		fmtno5faclem1 41491	. . . . . 6 |- (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. 4 ) = ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8
66	65	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. 4 )
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 11593	. . . 4 |- (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ; 6 4 ) = (;;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 0 + ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 )
68	67	eqcomi 2631	. . 3 |- (;;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 0 + ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 ) = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ; 6 4 )
69	62	nn0cni 11304	. . . . 5 |- ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 e. CC
70	69	mulid1i 10042	. . . 4 |- (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. 1 ) = ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7
71	70	eqcomi 2631	. . 3 |- ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. 1 )
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 11593	. 2 |- (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ;; 6 4 1 ) = (; (;;;;;;;; 4 0 2 0 2 5 0 2 0 + ;;;;;;; 2 6 8 0 1 6 6 8 ) 0 + ;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 )
73		fmtno5 41469	. 2 |- (FermatNo ` 5 ) = ;;;;;;;;; 4 2 9 4 9 6 7 2 9 7
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2655	1 |- (FermatNo ` 5 ) = (;;;;;; 6 7 0 0 4 1 7 x. ;; 6 4 1 )

Syntax hints:   = wceq 1483   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077  ;cdc 11493  FermatNocfmtno 41439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fmtno 41440

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  41495