Theorem geoihalfsum 14614

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 14610. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 14612 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 11113	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
5		nnz 11399	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	exprecd 13016	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
7	6	sumeq2i 14429	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8		halfcn 11247	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
9		halfre 11246	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10		0le1 10551	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
11		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		2re 11090	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2pos 11112	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 2
14		ge0div 10890	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 / 2)))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 / 2))
16	10, 15	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
17		absid 14036	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
18	9, 16, 17	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
19		halflt1 11250	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
20	18, 19	eqbrtri 4674	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
21		geoisum1 14610	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
22	8, 20, 21	mp2an 708	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
23		1mhlfehlf 11251	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
24	23	oveq2i 6661	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
25		ax-1cn 9994	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		ax-1ne0 10005	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
27	25, 1, 26, 3	divne0i 10773	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
28	8, 27	dividi 10758	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
29	22, 24, 28	3eqtri 2648	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
30	7, 29	eqtr3i 2646	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ↑cexp 12860  abscabs 13974  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  omssubadd  30362