Theorem 0.999...OLD 14613

Description: Obsolete version of 0.999... 14612 as of 8-Sep-2021. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...OLD	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem 0.999...OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10reOLD 11109	. . . . . . 7 ⊢ 10 ∈ ℝ
2	1	recni 10052	. . . . . 6 ⊢ 10 ∈ ℂ
3		nnnn0 11299	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4		expcl 12878	. . . . . 6 ⊢ ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ∈ ℂ)
6	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
7		10posOLD 11123	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 10
8	1, 7	gt0ne0ii 10564	. . . . . . 7 ⊢ 10 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 10 ≠ 0)
10		nnz 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
11	6, 9, 10	expne0d 13014	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (10↑𝑘) ≠ 0)
12		9cn 11108	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
13		divrec 10701	. . . . . 6 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
14	12, 13	mp3an1 1411	. . . . 5 ⊢ (((10↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (10↑𝑘) ≠ 0) → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
15	5, 11, 14	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
16	6, 9, 10	exprecd 13016	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 10)↑𝑘) = (1 / (10↑𝑘)))
17	16	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = (9 · (1 / (10↑𝑘))))
18	15, 17	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (9 / (10↑𝑘)) = (9 · ((1 / 10)↑𝑘)))
19	18	sumeq2i 14429	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘))
20	1, 8	rereccli 10790	. . . . 5 ⊢ (1 / 10) ∈ ℝ
21	20	recni 10052	. . . 4 ⊢ (1 / 10) ∈ ℂ
22		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	1, 7	recgt0ii 10929	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 10)
24	22, 20, 23	ltleii 10160	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 10)
25	20	absidi 14117	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ (1 / 10) → (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 10)) = (1 / 10)
27		1lt10OLD 11238	. . . . . 6 ⊢ 1 < 10
28		recgt1 10919	. . . . . . 7 ⊢ ((10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10) → (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1))
29	1, 7, 28	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (1 < 10 ↔ (1 / 10) < 1)
30	27, 29	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ (1 / 10) < 1
31	26, 30	eqbrtri 4674	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 10)) < 1
32		geoisum1c 14611	. . . 4 ⊢ ((9 ∈ ℂ ∧ (1 / 10) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 10)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10))))
33	12, 21, 31, 32	mp3an 1424	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
34	12, 2, 8	divreci 10770	. . . 4 ⊢ (9 / 10) = (9 · (1 / 10))
35	12, 2, 8	divcan2i 10768	. . . . . 6 ⊢ (10 · (9 / 10)) = 9
36		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
37	2, 36, 21	subdii 10479	. . . . . . 7 ⊢ (10 · (1 − (1 / 10))) = ((10 · 1) − (10 · (1 / 10)))
38	2	mulid1i 10042	. . . . . . . 8 ⊢ (10 · 1) = 10
39	2, 8	recidi 10756	. . . . . . . 8 ⊢ (10 · (1 / 10)) = 1
40	38, 39	oveq12i 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((10 · 1) − (10 · (1 / 10))) = (10 − 1)
41	36, 12	addcomi 10227	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 9) = (9 + 1)
42		df-10OLD 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 10 = (9 + 1)
43	41, 42	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 9) = 10
44	2, 36, 12, 43	subaddrii 10370	. . . . . . 7 ⊢ (10 − 1) = 9
45	37, 40, 44	3eqtrri 2649	. . . . . 6 ⊢ 9 = (10 · (1 − (1 / 10)))
46	35, 45	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10)))
47		9re 11107	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
48	47, 1, 8	redivcli 10792	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 10) ∈ ℝ
49	48	recni 10052	. . . . . 6 ⊢ (9 / 10) ∈ ℂ
50	36, 21	subcli 10357	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 10)) ∈ ℂ
51	49, 50, 2, 8	mulcani 10666	. . . . 5 ⊢ ((10 · (9 / 10)) = (10 · (1 − (1 / 10))) ↔ (9 / 10) = (1 − (1 / 10)))
52	46, 51	mpbi 220	. . . 4 ⊢ (9 / 10) = (1 − (1 / 10))
53	34, 52	oveq12i 6662	. . 3 ⊢ ((9 / 10) / (9 / 10)) = ((9 · (1 / 10)) / (1 − (1 / 10)))
54		9pos 11122	. . . . . 6 ⊢ 0 < 9
55	47, 1, 54, 7	divgt0ii 10941	. . . . 5 ⊢ 0 < (9 / 10)
56	48, 55	gt0ne0ii 10564	. . . 4 ⊢ (9 / 10) ≠ 0
57	49, 56	dividi 10758	. . 3 ⊢ ((9 / 10) / (9 / 10)) = 1
58	33, 53, 57	3eqtr2i 2650	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 · ((1 / 10)↑𝑘)) = 1
59	19, 58	eqtri 2644	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (9 / (10↑𝑘)) = 1

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  9c9 11077  10c10 11078  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860  abscabs 13974  Σcsu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by: (None)