Theorem gsumdifsndf 42144

Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdifsndf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝑌
gsumdifsndf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumdifsndf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumdifsndf.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumdifsndf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumdifsndf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
gsumdifsndf.f	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
gsumdifsndf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumdifsndf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
gsumdifsndf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumdifsndf.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
gsumdifsndf	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   + (𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsumdifsndf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdifsndf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		gsumdifsndf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2622	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		gsumdifsndf.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		gsumdifsndf.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
6		gsumdifsndf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
7		gsumdifsndf.e	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		gsumdifsndf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp (0g‘𝐺))
9		difid 3948	. . . 4 ⊢ ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
10		gsumdifsndf.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐴)
11	10	snssd 4340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ⊆ 𝐴)
12		difin2 3890	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ⊆ 𝐴 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}))
14	9, 13	syl5reqr 2671	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∩ {𝑀}) = ∅)
15		difsnid 4341	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
16	10, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}) = 𝐴)
17	16	eqcomd 2628	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑀}) ∪ {𝑀}))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17	gsumsplit2f 42143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))))
19		cmnmnd 18208	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
20	5, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
21		gsumdifsndf.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		gsumdifsndf.s	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝑋 = 𝑌)
23		gsumdifsndf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑌
24	2, 20, 10, 21, 22, 1, 23	gsumsnfd 18351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋)) = 𝑌)
25	24	oveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝑋))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))
26	18, 25	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑀}) ↦ 𝑋)) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  Ⅎwnfc 2751   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by: (None)