Theorem gsumdifsndf 42144

Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumdifsndf.k	|- F/_ k Y
gsumdifsndf.n	|- F/ k ph
gsumdifsndf.b	|- B = ( Base ` G )
gsumdifsndf.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumdifsndf.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumdifsndf.a	|- ( ph -> A e. W )
gsumdifsndf.f	|- ( ph -> ( k e. A |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
gsumdifsndf.e	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> X e. B )
gsumdifsndf.m	|- ( ph -> M e. A )
gsumdifsndf.y	|- ( ph -> Y e. B )
gsumdifsndf.s	|- ( ( ph /\ k = M ) -> X = Y )

Assertion

Ref	Expression
gsumdifsndf	|- ( ph -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ Y ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, G   k, M

Allowed substitution hints:   ph( k)   .+ ( k)   W( k)   X( k)   Y( k)

Proof of Theorem gsumdifsndf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumdifsndf.n	. . 3 |- F/ k ph
2		gsumdifsndf.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
4		gsumdifsndf.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		gsumdifsndf.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
6		gsumdifsndf.a	. . 3 |- ( ph -> A e. W )
7		gsumdifsndf.e	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> X e. B )
8		gsumdifsndf.f	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> X ) finSupp ( 0g ` G ) )
9		difid 3948	. . . 4 |- ( { M } \ { M } ) = (/)
10		gsumdifsndf.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. A )
11	10	snssd 4340	. . . . 5 |- ( ph -> { M } C_ A )
12		difin2 3890	. . . . 5 |- ( { M } C_ A -> ( { M } \ { M } ) = ( ( A \ { M } ) i^i { M } ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( { M } \ { M } ) = ( ( A \ { M } ) i^i { M } ) )
14	9, 13	syl5reqr 2671	. . 3 |- ( ph -> ( ( A \ { M } ) i^i { M } ) = (/) )
15		difsnid 4341	. . . . 5 |- ( M e. A -> ( ( A \ { M } ) u. { M } ) = A )
16	10, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A \ { M } ) u. { M } ) = A )
17	16	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> A = ( ( A \ { M } ) u. { M } ) )
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 17	gsumsplit2f 42143	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) ) )
19		cmnmnd 18208	. . . . 5 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
20	5, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> G e. Mnd )
21		gsumdifsndf.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
22		gsumdifsndf.s	. . . 4 |- ( ( ph /\ k = M ) -> X = Y )
23		gsumdifsndf.k	. . . 4 |- F/_ k Y
24	2, 20, 10, 21, 22, 1, 23	gsumsnfd 18351	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) = Y )
25	24	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( ( G gsumg ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ ( G gsumg ( k e. { M } |-> X ) ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ Y ) )
26	18, 25	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. A |-> X ) ) = ( ( G gsumg ( k e. ( A \ { M } ) |-> X ) ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by: (None)