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Theorem hashge2el2dif 13262
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )
Distinct variable groups:   x, y, D   x, V, y
Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( D = { x } -> ( # ` D ) = ( # ` { x } ) )
2 hashsng 13159 . . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( # ` { x } ) = 1 )
31, 2sylan9eqr 2678 . . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ D = { x } ) -> ( # ` D ) = 1 )
43ralimiaa 2951 . . . . 5 |- ( A. x e. D D = { x } -> A. x e. D ( # ` D ) = 1 )
5 0re 10040 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
6 1re 10039 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
75, 6readdcli 10053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) e. RR
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) e. RR )
9 2re 11090 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 2 e. RR )
11 hashcl 13147 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. NN0 )
1211nn0red 11352 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. RR )
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) e. RR )
148, 10, 133jca 1242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) )
15 0p1e1 11132 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
16 1lt2 11194 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 < 2
1715, 16eqbrtri 4674 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) < 2
1817jctl 564 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
2019adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) )
21 ltleletr 10130 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ ( # ` D ) e. RR ) -> ( ( ( 0 + 1 ) < 2 /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
2214, 20, 21sylc 65 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) )
2311nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. ZZ )
24 0z 11388 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
2523, 24jctil 560 . . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. Fin -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) )
27 zltp1le 11427 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( 0 < ( # ` D ) <-> ( 0 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
2922, 28mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
30 0ltpnf 11956 . . . . . . . . . 10 |- 0 < +oo
31 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D e. V )
3231anim2i 593 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( -. D e. Fin /\ D e. V ) )
3332ancomd 467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( D e. V /\ -. D e. Fin ) )
34 hashinf 13122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. V /\ -. D e. Fin ) -> ( # ` D ) = +oo )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> ( # ` D ) = +oo )
3630, 35syl5breqr 4691 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. D e. Fin /\ ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
3729, 36pm2.61ian 831 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> 0 < ( # ` D ) )
38 hashgt0n0 13156 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ 0 < ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
3937, 38syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> D =/= (/) )
40 rspn0 3934 . . . . . . 7 |- ( D =/= (/) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
4139, 40syl 17 . . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( # ` D ) = 1 ) )
42 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) <-> 2 <_ 1 ) )
436, 9ltnlei 10158 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
44 pm2.21 120 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. 2 <_ 1 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
4543, 44sylbi 207 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 < 2 -> ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
4616, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( 2 <_ 1 -> -. A. x e. D D = { x } )
4742, 46syl6bi 243 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( 2 <_ ( # ` D ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
4847com12 32 . . . . . . 7 |- ( 2 <_ ( # ` D ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
4948adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( ( # ` D ) = 1 -> -. A. x e. D D = { x } ) )
5041, 49syldc 48 . . . . 5 |- ( A. x e. D ( # ` D ) = 1 -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
514, 50syl 17 . . . 4 |- ( A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
52 ax-1 6 . . . 4 |- ( -. A. x e. D D = { x } -> ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } ) )
5351, 52pm2.61i 176 . . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D D = { x } )
54 eqsn 4361 . . . . . 6 |- ( D =/= (/) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
5539, 54syl 17 . . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D y = x ) )
56 equcom 1945 . . . . . . 7 |- ( y = x <-> x = y )
5756a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( y = x <-> x = y ) )
5857ralbidv 2986 . . . . 5 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. y e. D y = x <-> A. y e. D x = y ) )
5955, 58bitrd 268 . . . 4 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( D = { x } <-> A. y e. D x = y ) )
6059ralbidv 2986 . . 3 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> ( A. x e. D D = { x } <-> A. x e. D A. y e. D x = y ) )
6153, 60mtbid 314 . 2 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
62 df-ne 2795 . . . . . 6 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
6362rexbii 3041 . . . . 5 |- ( E. y e. D x =/= y <-> E. y e. D -. x = y )
64 rexnal 2995 . . . . 5 |- ( E. y e. D -. x = y <-> -. A. y e. D x = y )
6563, 64bitri 264 . . . 4 |- ( E. y e. D x =/= y <-> -. A. y e. D x = y )
6665rexbii 3041 . . 3 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. D -. A. y e. D x = y )
67 rexnal 2995 . . 3 |- ( E. x e. D -. A. y e. D x = y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
6866, 67bitri 264 . 2 |- ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> -. A. x e. D A. y e. D x = y )
6961, 68sylibr 224 1 |- ( ( D e. V /\ 2 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D x =/= y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ZZcz 11377   #chash 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13264  fundmge2nop0  13274  tglowdim1  25395
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