Theorem i1fmulc 23470

Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulc	⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10027	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4		i1ff 23443	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		i1fmulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 10041	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12		mul02lem2 10213	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
15	2, 6, 8, 9, 14	caofid2 6928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16		i1f0 23454	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
17	15, 16	syl6eqel 2709	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18		remulcl 10021	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20		fconst6g 6094	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
22	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
23		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
24	19, 21, 5, 22, 22, 23	off 6912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26		i1frn 23444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
27	3, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28		ovex 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
30	28, 29	fnmpti 6022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31		dffn4 6121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
32	30, 31	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33		fofi 8252	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
34	27, 32, 33	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
36		elsni 4194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → ((𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)))
40	39	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41	35, 37, 40	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
42		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 · 𝑤) ∈ V
43		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
45	42, 44	elab 3350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
46	41, 45	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
48		fconstg 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
49	7, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
50		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
51	5, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
52		dffn3 6054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
53	51, 52	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
54	47, 49, 53, 22, 22, 23	off 6912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
55		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
57	29	rnmpt 5371	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
58	56, 57	syl6sseqr 3652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
59		ssfi 8180	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin ∧ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
60	34, 58, 59	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
61	60	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
62		frn 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
63	24, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
64	63	ssdifssd 3748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
65	64	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
66	65	sselda 3603	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
67	3, 7	i1fmulclem 23469	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
68	66, 67	syldan 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
69		i1fima 23445	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
70	3, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
71	70	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
72	68, 71	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
73	68	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
74	3	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
75	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
76		simplr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
77	66, 75, 76	redivcld 10853	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
78	66	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
79	75	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
80		eldifsni 4320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
81	80	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
82	78, 79, 81, 76	divne0d 10817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
83		eldifsn 4317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
84	77, 82, 83	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
85		i1fima2sn 23447	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
86	74, 84, 85	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
87	73, 86	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
88	25, 61, 72, 87	i1fd 23448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
89	17, 88	pm2.61dane 2881	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   “ cima 5117   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   / cdiv 10684  volcvol 23232  ∫₁citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  itg1mulc  23471  i1fsub  23475  itg1sub  23476  itg2const  23507  itg2mulclem  23513  itg2monolem1  23517  i1fibl  23574  itgitg1  23575  itg2addnclem  33461  ftc1anclem5  33489