Theorem iunmbl 23321

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl	⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
3	2	nfel1 2779	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
4		csbeq1a 3542	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴)
5	4	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
6	1, 3, 5	cbvral 3167	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
8	7, 2, 4	cbviun 4557	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴
9		csbeq1 3536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	iundisj 23316	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
11	8, 10	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
12		difexg 4808	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
13	12	ralimi 2952	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
14		dfiun2g 4552	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ℕ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
16	11, 15	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
17	6, 16	sylbi 207	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)})
18		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
19	18	rnmpt 5371	. . . 4 ⊢ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
20	19	unieqi 4445	. . 3 ⊢ ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)}
21	17, 20	syl6eqr 2674	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
22	3, 5	rspc 3303	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
23	22	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
24		fzofi 12773	. . . . . 6 ⊢ (1..^𝑘) ∈ Fin
25		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
27	26	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
28		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
30	25, 27, 29	cbvral 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
31		fzossnn 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32		ssralv 3666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑚 ∈ ℕ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
34	30, 33	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
35	34	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
36		finiunmbl 23312	. . . . . 6 ⊢ (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
37	24, 35, 36	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
38		difmbl 23311	. . . . 5 ⊢ ((⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
39	23, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ dom vol)
40	39, 18	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41		csbeq1 3536	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42	41	iundisj2 23317	. . . 4 ⊢ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
43		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
44		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴
45	44	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol
46		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → 𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
48	45, 47	rspc 3303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol))
49	48	impcom 446	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol)
50		difexg 4808	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∈ dom vol → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V)
52		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴)
53		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
54	53	iuneq1d 4545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
55	52, 54	difeq12d 3729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
56	55, 18	fvmptg 6280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
57	43, 51, 56	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) = (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
58	57	disjeq2dv 4625	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (⦋𝑖 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑖)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)))
59	42, 58	mpbiri 248	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑖))
60		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))‘𝑦))))
61	40, 59, 60	voliunlem2 23319	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (⦋𝑘 / 𝑛⦌𝐴 ∖ ∪ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)) ∈ dom vol)
62	21, 61	eqeltrd 2701	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∪ 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  ⦋csb 3533   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∪ cuni 4436  ∪ ciun 4520  Disj wdisj 4620   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  1c1 9937  ℕcn 11020  ..^cfzo 12465  vol*covol 23231  volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volsup  23324  iunmbl2  23325  vitalilem4  23380  vitalilem5  23381  ismbf3d  23421  itg2gt0  23527  voliune  30292  dmvolsal  40564  voliunsge0lem  40689