Theorem iunmbl 23321

Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunmbl	|- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U_ n e. NN A e. dom vol )

Proof of Theorem iunmbl

Dummy variables i k m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k A e. dom vol
2		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ n [_ k / n ]_ A
3	2	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ n [_ k / n ]_ A e. dom vol
4		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( n = k -> A = [_ k / n ]_ A )
5	4	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( n = k -> ( A e. dom vol <-> [_ k / n ]_ A e. dom vol ) )
6	1, 3, 5	cbvral 3167	. . . 4 |- ( A. n e. NN A e. dom vol <-> A. k e. NN [_ k / n ]_ A e. dom vol )
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k A
8	7, 2, 4	cbviun 4557	. . . . . 6 |- U_ n e. NN A = U_ k e. NN [_ k / n ]_ A
9		csbeq1 3536	. . . . . . 7 |- ( k = m -> [_ k / n ]_ A = [_ m / n ]_ A )
10	9	iundisj 23316	. . . . . 6 |- U_ k e. NN [_ k / n ]_ A = U_ k e. NN ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A )
11	8, 10	eqtri 2644	. . . . 5 |- U_ n e. NN A = U_ k e. NN ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A )
12		difexg 4808	. . . . . . 7 |- ( [_ k / n ]_ A e. dom vol -> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) e. _V )
13	12	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. k e. NN [_ k / n ]_ A e. dom vol -> A. k e. NN ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) e. _V )
14		dfiun2g 4552	. . . . . 6 |- ( A. k e. NN ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) e. _V -> U_ k e. NN ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) = U. { y | E. k e. NN y = ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) } )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( A. k e. NN [_ k / n ]_ A e. dom vol -> U_ k e. NN ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) = U. { y | E. k e. NN y = ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) } )
16	11, 15	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( A. k e. NN [_ k / n ]_ A e. dom vol -> U_ n e. NN A = U. { y | E. k e. NN y = ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) } )
17	6, 16	sylbi 207	. . 3 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U_ n e. NN A = U. { y | E. k e. NN y = ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) } )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) = ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) )
19	18	rnmpt 5371	. . . 4 |- ran ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) = { y | E. k e. NN y = ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) }
20	19	unieqi 4445	. . 3 |- U. ran ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) = U. { y | E. k e. NN y = ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) }
21	17, 20	syl6eqr 2674	. 2 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U_ n e. NN A = U. ran ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) )
22	3, 5	rspc 3303	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( A. n e. NN A e. dom vol -> [_ k / n ]_ A e. dom vol ) )
23	22	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> [_ k / n ]_ A e. dom vol )
24		fzofi 12773	. . . . . 6 |- ( 1..^ k ) e. Fin
25		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ m A e. dom vol
26		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
27	26	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ n [_ m / n ]_ A e. dom vol
28		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( A e. dom vol <-> [_ m / n ]_ A e. dom vol ) )
30	25, 27, 29	cbvral 3167	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. NN A e. dom vol <-> A. m e. NN [_ m / n ]_ A e. dom vol )
31		fzossnn 12516	. . . . . . . . 9 |- ( 1..^ k ) C_ NN
32		ssralv 3666	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1..^ k ) C_ NN -> ( A. m e. NN [_ m / n ]_ A e. dom vol -> A. m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. NN [_ m / n ]_ A e. dom vol -> A. m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol )
34	30, 33	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> A. m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol )
35	34	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> A. m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol )
36		finiunmbl 23312	. . . . . 6 |- ( ( ( 1..^ k ) e. Fin /\ A. m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol ) -> U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol )
37	24, 35, 36	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol )
38		difmbl 23311	. . . . 5 |- ( ( [_ k / n ]_ A e. dom vol /\ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A e. dom vol ) -> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) e. dom vol )
39	23, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ k e. NN ) -> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) e. dom vol )
40	39, 18	fmptd 6385	. . 3 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) : NN --> dom vol )
41		csbeq1 3536	. . . . 5 |- ( i = m -> [_ i / n ]_ A = [_ m / n ]_ A )
42	41	iundisj2 23317	. . . 4 |- Disj i e. NN ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A )
43		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ i e. NN ) -> i e. NN )
44		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n [_ i / n ]_ A
45	44	nfel1 2779	. . . . . . . . 9 |- F/ n [_ i / n ]_ A e. dom vol
46		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( n = i -> A = [_ i / n ]_ A )
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( n = i -> ( A e. dom vol <-> [_ i / n ]_ A e. dom vol ) )
48	45, 47	rspc 3303	. . . . . . . 8 |- ( i e. NN -> ( A. n e. NN A e. dom vol -> [_ i / n ]_ A e. dom vol ) )
49	48	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ i e. NN ) -> [_ i / n ]_ A e. dom vol )
50		difexg 4808	. . . . . . 7 |- ( [_ i / n ]_ A e. dom vol -> ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) e. _V )
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ i e. NN ) -> ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) e. _V )
52		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> [_ k / n ]_ A = [_ i / n ]_ A )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( 1..^ k ) = ( 1..^ i ) )
54	53	iuneq1d 4545	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A = U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A )
55	52, 54	difeq12d 3729	. . . . . . 7 |- ( k = i -> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) = ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) )
56	55, 18	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( i e. NN /\ ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) e. _V ) -> ( ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) ` i ) = ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) )
57	43, 51, 56	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A. n e. NN A e. dom vol /\ i e. NN ) -> ( ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) ` i ) = ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) )
58	57	disjeq2dv 4625	. . . 4 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> (Disj i e. NN ( ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) ` i ) <-> Disj i e. NN ( [_ i / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ i ) [_ m / n ]_ A ) ) )
59	42, 58	mpbiri 248	. . 3 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> Disj i e. NN ( ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) ` i ) )
60		eqid 2622	. . 3 |- ( y e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) ` y ) ) ) ) = ( y e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) ` y ) ) ) )
61	40, 59, 60	voliunlem2 23319	. 2 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U. ran ( k e. NN |-> ( [_ k / n ]_ A \ U_ m e. ( 1..^ k ) [_ m / n ]_ A ) ) e. dom vol )
62	21, 61	eqeltrd 2701	1 |- ( A. n e. NN A e. dom vol -> U_ n e. NN A e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   NNcn 11020  ..^cfzo 12465   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volsup  23324  iunmbl2  23325  vitalilem4  23380  vitalilem5  23381  ismbf3d  23421  itg2gt0  23527  voliune  30292  dmvolsal  40564  voliunsge0lem  40689