Theorem mapdh6lem1N 37022

Description: Lemma for mapdh6N 37036. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdhe6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh6lem1N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼   + ,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh6lem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 36399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		mapdhcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		mapdhe6.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		mapdh.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdh.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13	11, 12	lmodvsubcl 18908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
15		mapdh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16	11, 4, 15	lspsncl 18977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	6, 14, 16	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18		mapdhe6.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	eldifad 3586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	11, 4, 15	lspsncl 18977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	6, 19, 20	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
23	4, 22	lsmcl 19083	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
24	6, 17, 21, 23	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
25	11, 12	lmodvsubcl 18908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
26	6, 8, 19, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
27	11, 4, 15	lspsncl 18977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	6, 26, 27	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	11, 4, 15	lspsncl 18977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	6, 10, 29	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	4, 22	lsmcl 19083	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	6, 28, 30, 31	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	1, 2, 3, 4, 5, 24, 32	mapdin 36951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
36	1, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21	mapdlsm 36953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
37	1, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30	mapdlsm 36953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
38	36, 37	ineq12d 3815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39		mapdh6.fg	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40		mapdh.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
41		mapdh.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
42		mapdhc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
43		mapdh.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
44		mapdh.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
45		mapdh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
46		mapdhc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
47		mapdh.mn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
48	1, 3, 5	dvhlvec 36398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
49		mapdh6.yz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50		mapdhe6.xn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
51	11, 42, 15, 48, 10, 18, 8, 49, 50	lspindp2 19135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
52	51	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
53	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 10, 52	mapdhcl 37016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
54	39, 53	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
55	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 9, 54, 52	mapdheq 37017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
56	39, 55	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
57	56	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
58		mapdh6.fe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
59	11, 42, 15, 48, 9, 19, 8, 49, 50	lspindp1 19133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
60	59	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
61	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 19, 60	mapdhcl 37016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
62	58, 61	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
63	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 18, 62, 60	mapdheq 37017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
64	58, 63	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
65	64	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
66	57, 65	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
67	64	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
68	56	simpld 475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
69	67, 68	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺})))
70	66, 69	ineq12d 3815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
71	38, 70	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
72	33, 71	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
73		mapdh.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
74	11, 12, 42, 22, 15, 48, 8, 50, 49, 9, 18, 73	baerlem5a 37003	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
75	74	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
76	1, 34, 5	lcdlvec 36880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
77	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 46, 47, 8, 10, 54, 68, 19, 62, 65, 50	mapdindp 36960	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
78	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 10, 19, 62, 65, 49	mapdncol 36959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
79	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 42, 40, 9	mapdn0 36958	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
80	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 62, 65, 42, 40, 18	mapdn0 36958	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81		mapdh.a	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
82	43, 44, 40, 35, 45, 76, 46, 77, 78, 79, 80, 81	baerlem5a 37003	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
83	72, 75, 82	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573  ifcif 4086  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cotp 4185   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  ℩crio 6610  (class class class)co 6650  1^st c1st 7166  2^nd c2nd 7167  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  -_gcsg 17424  LSSumclsm 18049  LModclmod 18863  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971  HLchlt 34637  LHypclh 35270  DVecHcdvh 36367  LCDualclcd 36875  mapdcmpd 36913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-lcv 34306  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684  df-lcdual 36876  df-mapd 36914

This theorem is referenced by:  mapdh6lem2N  37023  mapdh6aN  37024