Theorem nvge0 27528

Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvge0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nvge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvge0.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvge0.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
3	1, 2	nvcl 27516	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ)
4		2re 11090	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
5	3, 4	jctil 560	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ))
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
7	6, 2	nvz0 27523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = 0)
9		1pneg1e0 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
10	9	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)
11		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
12	1, 11, 6	nv0 27492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = (0vec‘𝑈))
13	10, 12	syl5req 2669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))
14		neg1cn 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
17	1, 16, 11	nvdir 27486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
18	15, 17	mp3anr1 1421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
19	14, 18	mpanr1 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
20	1, 11	nvsid 27482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
22	13, 19, 21	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0vec‘𝑈) = (𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
23	22	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(0vec‘𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
24	8, 23	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
25	1, 11	nvscl 27481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
26	14, 25	mp3an2 1412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
27	1, 16, 2	nvtri 27525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
28	26, 27	mpd3an3 1425	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣 ‘𝑈)(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
29	24, 28	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))))
30	1, 11, 2	nvm1 27520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (𝑁‘𝐴))
31	30	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
32	3	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) ∈ ℂ)
33	32	2timesd 11275	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (2 · (𝑁‘𝐴)) = ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘𝐴)))
34	31, 33	eqtr4d 2659	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁‘𝐴)))
35	29, 34	breqtrd 4679	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴)))
36		2pos 11112	. . 3 ⊢ 0 < 2
37	35, 36	jctil 560	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴))))
38		prodge0 10870	. 2 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · (𝑁‘𝐴)))) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))
39	5, 37, 38	syl2anc 693	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075  -cneg 10267  2c2 11070  NrmCVeccnv 27439   +_𝑣 cpv 27440  BaseSetcba 27441   ·_𝑠OLD cns 27442  0_veccn0v 27443  norm_CVcnmcv 27445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nvgt0  27529  smcnlem  27552  ipnm  27566  nmooge0  27622  nmoub3i  27628  siilem1  27706  siii  27708  ubthlem3  27728  minvecolem1  27730  minvecolem5  27737  minvecolem6  27738  htthlem  27774