Theorem oddvdssubg 18258

Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
torsubg.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
oddvdssubg.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdssubg	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑂

Proof of Theorem oddvdssubg

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵)
3		ablgrp 18198	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
5		oddvdssubg.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
7	5, 6	grpidcl 17450	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9		torsubg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	9, 6	od1 17976	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
11	4, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) = 1)
12		1dvds 14996	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∥ 𝑁)
14	11, 13	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁)
15		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(0g‘𝐺)))
16	15	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (0g‘𝐺) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁))
17	16	elrab 3363	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘(0g‘𝐺)) ∥ 𝑁))
18	8, 14, 17	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
19		ne0i 3921	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
21		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑦))
22	21	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
23	22	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁))
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝑧))
25	24	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
26	25	elrab 3363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁))
27	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
33	5, 32	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
34	28, 30, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
35		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Abel)
36		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
38	5, 37, 32	mulgdi 18232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
39	35, 36, 30, 31, 38	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)))
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)
42	5, 9, 37, 6	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
43	28, 30, 36, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺)))
44	41, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
45		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)
46	5, 9, 37, 6	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
47	28, 31, 36, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)))
48	45, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺))
49	44, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑁(.g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)(𝑁(.g‘𝐺)𝑧)) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)))
50	28, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
51	5, 32, 6	grplid 17452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
52	28, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
53	39, 49, 52	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺))
54	5, 9, 37, 6	oddvds 17966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
55	28, 34, 36, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → ((𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (0g‘𝐺)))
56	53, 55	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁)
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
58	57	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
59	58	elrab 3363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∥ 𝑁))
60	34, 56, 59	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑧) ∥ 𝑁)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
61	26, 60	sylan2b 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
62	61	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
63		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
64	5, 63	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
65	27, 29, 64	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵)
66	9, 63, 5	odinv 17978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
67	27, 29, 66	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) = (𝑂‘𝑦))
68	67, 40	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁)
69		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)))
70	69	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((invg‘𝐺)‘𝑦) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
71	70	elrab 3363	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((invg‘𝐺)‘𝑦)) ∥ 𝑁))
72	65, 68, 71	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁})
73	62, 72	jca 554	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘𝑦) ∥ 𝑁)) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
74	23, 73	sylan2b 492	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
75	74	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))
76	5, 32, 63	issubg2 17609	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
77	4, 76	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}))))
78	2, 20, 75, 77	mpbir3and 1245	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937  ℤcz 11377   ∥ cdvds 14983  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  inv_gcminusg 17423  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588  odcod 17944  Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  ablfacrplem  18464  ablfacrp  18465  ablfacrp2  18466  ablfac1b  18469