Theorem ablfacrp2 18466

Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18465 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfacrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k	⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l	⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2	⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
ablfacrp2	⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfacrp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2		ablfacrp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		ablfacrp.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	3, 5	nn0mulcld 11356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7	1, 6	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
8		ablfacrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		fvex 6201	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
11		hashclb 13149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
13	7, 12	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
14		ablfacrp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀}
15		ssrab2 3687	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
16	14, 15	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ⊆ 𝐵
17		ssfi 8180	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
18	13, 16, 17	sylancl 694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
19		hashcl 13147	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
21		ablfacrp.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
22	2	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
23		ablfacrp.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
24	23, 8	oddvdssubg 18258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	21, 22, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	14, 25	syl5eqel 2705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27	8	lagsubg 17656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
28	26, 13, 27	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
29	2	nncnd 11036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
30	4	nncnd 11036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulcomd 10061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
32	1, 31	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
33	28, 32	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
34		ablfacrp.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}
35		ablfacrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
36	8, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1	ablfacrplem 18464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
37	20	nn0zd 11480	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
38	4	nnzd 11481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
39		coprmdvds 15366	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
40	37, 38, 22, 39	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
41	33, 36, 40	mp2and 715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ 𝑀)
42	23, 8	oddvdssubg 18258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
43	21, 38, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	34, 43	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	8	lagsubg 17656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
46	44, 13, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
47	46, 1	breqtrd 4679	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
48		gcdcom 15235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
49	22, 38, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
50	49, 35	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
51	8, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32	ablfacrplem 18464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
52		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
53	34, 52	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 ⊆ 𝐵
54		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿 ⊆ 𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
55	13, 53, 54	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Fin)
56		hashcl 13147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
58	57	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℤ)
59		coprmdvds 15366	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
60	58, 22, 38, 59	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
61	47, 51, 60	mp2and 715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ 𝑁)
62		dvdscmul 15008	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
63	58, 38, 22, 62	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
64	61, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
66		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
67	8, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66	ablfacrp 18465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
68	67	simprd 479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (#‘𝐵))
70		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
71	67	simpld 475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∩ 𝐿) = {(0g‘𝐺)})
72	70, 21, 26, 44	ablcntzd 18260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
73	66, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55	lsmhash 18118	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
74	69, 73	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
75	74, 1	eqtr3d 2658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
76	64, 75	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
77	65	subg0cl 17602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐿)
78		ne0i 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐿 → 𝐿 ≠ ∅)
79	44, 77, 78	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ ∅)
80		hashnncl 13157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ Fin → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
81	55, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
82	79, 81	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ)
83	82	nnne0d 11065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) ≠ 0)
84		dvdsmulcr 15011	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
85	22, 37, 58, 83, 84	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
86	76, 85	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (#‘𝐾))
87		dvdseq 15036	. . 3 ⊢ ((((#‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ (#‘𝐾))) → (#‘𝐾) = 𝑀)
88	20, 3, 41, 86, 87	syl22anc 1327	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) = 𝑀)
89		dvdsmulc 15009	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
90	37, 22, 38, 89	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
91	41, 90	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
92	91, 75	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
93	88, 2	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
94	93	nnne0d 11065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
95		dvdscmulr 15010	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
96	38, 58, 37, 94, 95	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
97	92, 96	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ (#‘𝐿))
98		dvdseq 15036	. . 3 ⊢ ((((#‘𝐿) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ (#‘𝐿))) → (#‘𝐿) = 𝑁)
99	57, 5, 61, 97, 98	syl22anc 1327	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐿) = 𝑁)
100	88, 99	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {crab 2916  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  #chash 13117   ∥ cdvds 14983   gcd cgcd 15216  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748  odcod 17944  LSSumclsm 18049  Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-od 17948  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  ablfac1a  18468