Theorem oddvdssubg 18258

Description: The set of all elements whose order divides a fixed integer is a subgroup of any abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
torsubg.1	|- O = ( od ` G )
oddvdssubg.1	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
oddvdssubg	|- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || N } e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, N   x, O

Proof of Theorem oddvdssubg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 |- { x e. B | ( O ` x ) || N } C_ B
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || N } C_ B )
3		ablgrp 18198	. . . . . 6 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> G e. Grp )
5		oddvdssubg.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7	5, 6	grpidcl 17450	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
8	4, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> ( 0g ` G ) e. B )
9		torsubg.1	. . . . . . 7 |- O = ( od ` G )
10	9, 6	od1 17976	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( O ` ( 0g ` G ) ) = 1 )
11	4, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> ( O ` ( 0g ` G ) ) = 1 )
12		1dvds 14996	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
13	12	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> 1 || N )
14	11, 13	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> ( O ` ( 0g ` G ) ) || N )
15		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( O ` x ) = ( O ` ( 0g ` G ) ) )
16	15	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( O ` x ) || N <-> ( O ` ( 0g ` G ) ) || N ) )
17	16	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ ( O ` ( 0g ` G ) ) || N ) )
18	8, 14, 17	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } )
19		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } -> { x e. B | ( O ` x ) || N } =/= (/) )
20	18, 19	syl 17	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || N } =/= (/) )
21		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( O ` x ) = ( O ` y ) )
22	21	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( O ` x ) || N <-> ( O ` y ) || N ) )
23	22	elrab 3363	. . . 4 |- ( y e. { x e. B | ( O ` x ) || N } <-> ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( O ` x ) = ( O ` z ) )
25	24	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( O ` x ) || N <-> ( O ` z ) || N ) )
26	25	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } <-> ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) )
27	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> G e. Grp )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> G e. Grp )
29		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> y e. B )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> y e. B )
31		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> z e. B )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
33	5, 32	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
34	28, 30, 31, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
35		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> G e. Abel )
36		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> N e. ZZ )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
38	5, 37, 32	mulgdi 18232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Abel /\ ( N e. ZZ /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( N (.g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( N (.g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( N (.g ` G ) z ) ) )
39	35, 36, 30, 31, 38	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( N (.g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( N (.g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( N (.g ` G ) z ) ) )
40		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> ( O ` y ) || N )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( O ` y ) || N )
42	5, 9, 37, 6	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ N e. ZZ ) -> ( ( O ` y ) || N <-> ( N (.g ` G ) y ) = ( 0g ` G ) ) )
43	28, 30, 36, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( ( O ` y ) || N <-> ( N (.g ` G ) y ) = ( 0g ` G ) ) )
44	41, 43	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( N (.g ` G ) y ) = ( 0g ` G ) )
45		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( O ` z ) || N )
46	5, 9, 37, 6	oddvds 17966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. B /\ N e. ZZ ) -> ( ( O ` z ) || N <-> ( N (.g ` G ) z ) = ( 0g ` G ) ) )
47	28, 31, 36, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( ( O ` z ) || N <-> ( N (.g ` G ) z ) = ( 0g ` G ) ) )
48	45, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( N (.g ` G ) z ) = ( 0g ` G ) )
49	44, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( ( N (.g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( N (.g ` G ) z ) ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) )
50	28, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( 0g ` G ) e. B )
51	5, 32, 6	grplid 17452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( 0g ` G ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
52	28, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
53	39, 49, 52	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( N (.g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( 0g ` G ) )
54	5, 9, 37, 6	oddvds 17966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ N e. ZZ ) -> ( ( O ` ( y ( +g ` G ) z ) ) || N <-> ( N (.g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( 0g ` G ) ) )
55	28, 34, 36, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( ( O ` ( y ( +g ` G ) z ) ) || N <-> ( N (.g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( 0g ` G ) ) )
56	53, 55	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( O ` ( y ( +g ` G ) z ) ) || N )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( O ` x ) = ( O ` ( y ( +g ` G ) z ) ) )
58	57	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( ( O ` x ) || N <-> ( O ` ( y ( +g ` G ) z ) ) || N ) )
59	58	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ ( O ` ( y ( +g ` G ) z ) ) || N ) )
60	34, 56, 59	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ ( z e. B /\ ( O ` z ) || N ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } )
61	26, 60	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) /\ z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } )
62	61	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> A. z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } )
63		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
64	5, 63	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
65	27, 29, 64	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
66	9, 63, 5	odinv 17978	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( O ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( O ` y ) )
67	27, 29, 66	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> ( O ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) = ( O ` y ) )
68	67, 40	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> ( O ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) || N )
69		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( O ` x ) = ( O ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) )
70	69	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( ( O ` x ) || N <-> ( O ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) || N ) )
71	70	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. B /\ ( O ` ( ( invg ` G ) ` y ) ) || N ) )
72	65, 68, 71	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } )
73	62, 72	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ ( y e. B /\ ( O ` y ) || N ) ) -> ( A. z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) )
74	23, 73	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) /\ y e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) -> ( A. z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) )
75	74	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> A. y e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( A. z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) )
76	5, 32, 63	issubg2 17609	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( { x e. B | ( O ` x ) || N } e. (SubGrp ` G ) <-> ( { x e. B | ( O ` x ) || N } C_ B /\ { x e. B | ( O ` x ) || N } =/= (/) /\ A. y e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( A. z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) ) ) )
77	4, 76	syl 17	. 2 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> ( { x e. B | ( O ` x ) || N } e. (SubGrp ` G ) <-> ( { x e. B | ( O ` x ) || N } C_ B /\ { x e. B | ( O ` x ) || N } =/= (/) /\ A. y e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( A. z e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | ( O ` x ) || N } ) ) ) )
78	2, 20, 75, 77	mpbir3and 1245	1 |- ( ( G e. Abel /\ N e. ZZ ) -> { x e. B | ( O ` x ) || N } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   ZZcz 11377   || cdvds 14983   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  ablfacrplem  18464  ablfacrp  18465  ablfacrp2  18466  ablfac1b  18469