Theorem ppiublem2 24928

Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiublem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 15389	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3		6nn 11189	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
4		zmodfz 12692	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6		df-6 11083	. . . . . 6 ⊢ 6 = (5 + 1)
7	6	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (6 − 1) = ((5 + 1) − 1)
8		5cn 11100	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
9		ax-1cn 9994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	8, 9	pncan3oi 10297	. . . . 5 ⊢ ((5 + 1) − 1) = 5
11	7, 10	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (6 − 1) = 5
12	11	oveq2i 6661	. . 3 ⊢ (0...(6 − 1)) = (0...5)
13	5, 12	syl6eleq 2711	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
14		6re 11101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℝ
15	14	leidi 10562	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≤ 6
16		noel 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
17	16	pm2.21i 116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
18		5lt6 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 < 6
19	3	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℤ
20		5nn 11188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℕ
21	20	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℤ
22		fzn 12357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
23	19, 21, 22	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
24	18, 23	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6...5) = ∅
25	17, 24	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
27	15, 26	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
28		5nn0 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
29	20	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ V
30	29	prid2 4298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ {1, 5}
31	30	3mix3i 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
32	27, 28, 6, 31	ppiublem1 24927	. . . . . . . 8 ⊢ (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
33		4nn0 11311	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
34		df-5 11082	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = (4 + 1)
35		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
36		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 2))
37	35, 35, 36	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∥ (2 · 2)
38		2t2e4 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
39	37, 38	breqtri 4678	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∥ 4
40	39	3mix1i 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
41	32, 33, 34, 40	ppiublem1 24927	. . . . . . 7 ⊢ (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
42		3nn0 11310	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
43		df-4 11081	. . . . . . 7 ⊢ 4 = (3 + 1)
44		3z 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
45		iddvds 14995	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∥ 3
47	46	3mix2i 1234	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
48	41, 42, 43, 47	ppiublem1 24927	. . . . . 6 ⊢ (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
49		2nn0 11309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
50		df-3 11080	. . . . . 6 ⊢ 3 = (2 + 1)
51		iddvds 14995	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
52	35, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∥ 2
53	52	3mix1i 1233	. . . . . 6 ⊢ (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
54	48, 49, 50, 53	ppiublem1 24927	. . . . 5 ⊢ (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
55		1nn0 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
56		df-2 11079	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
57		1ex 10035	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
58	57	prid1 4297	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {1, 5}
59	58	3mix3i 1235	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
60	54, 55, 56, 59	ppiublem1 24927	. . . 4 ⊢ (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
61		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
62		1e0p1 11552	. . . 4 ⊢ 1 = (0 + 1)
63		dvds0 14997	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
64	35, 63	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∥ 0
65	64	3mix1i 1233	. . . 4 ⊢ (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
66	60, 61, 62, 65	ppiublem1 24927	. . 3 ⊢ (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
67	66	simpri 478	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
68	13, 67	mpd 15	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∅c0 3915  {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  ℤcz 11377  ...cfz 12326   mod cmo 12668   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  ppiub  24929