Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
2 | 1 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
3 | 2 | elrab 3363 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
4 | | simp-4l 806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
5 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝐴) |
6 | 4, 5 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ) |
7 | 6 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ℂ) |
8 | | simp-4r 807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
9 | 8 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
10 | 7, 9 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 − 𝐵) ∈ ℂ) |
11 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) |
12 | 11 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) |
13 | | nelneq 2725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵) |
14 | 5, 12, 13 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑏 = 𝐵) |
15 | | subeq0 10307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 𝐵) = 0 ↔ 𝑏 = 𝐵)) |
16 | 15 | necon3abid 2830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵)) |
17 | 7, 9, 16 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑏 − 𝐵) ≠ 0 ↔ ¬ 𝑏 = 𝐵)) |
18 | 14, 17 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑏 − 𝐵) ≠ 0) |
19 | 10, 18 | absrpcld 14187 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
20 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → (𝑐 ∈ ℝ+ ↔
(abs‘(𝑏 − 𝐵)) ∈
ℝ+)) |
21 | 19, 20 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
22 | 21 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
23 | 22 | expimpd 629 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑐 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
24 | 3, 23 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑐 ∈
ℝ+)) |
25 | 24 | ssrdv 3609 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆
ℝ+) |
26 | 25 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆
ℝ+) |
27 | | abrexfi 8266 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
28 | | rabssab 3690 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} |
29 | | ssfi 8180 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
30 | 27, 28, 29 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
31 | 30 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin) |
32 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅) |
33 | | n0 3931 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔
∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) |
34 | 32, 33 | sylib 208 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴) |
35 | | simp-4l 806 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ) |
36 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
37 | 35, 36 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ) |
38 | 37 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ) |
39 | | simp-4r 807 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ) |
40 | 39 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
41 | 38, 40 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 − 𝐵) ∈ ℂ) |
42 | 41 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
43 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(abs‘(𝑦
− 𝐵)) =
(abs‘(𝑦 − 𝐵)) |
44 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏 − 𝐵) = (𝑦 − 𝐵)) |
45 | 44 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑏 = 𝑦 → (abs‘(𝑏 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
46 | 45 | eqeq2d 2632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵)))) |
47 | 46 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑦 − 𝐵))) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
48 | 43, 47 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
49 | 48 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵))) |
50 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = (abs‘(𝑦 − 𝐵)) → (𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
51 | 50 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 = (abs‘(𝑦 − 𝐵)) → (∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵)) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
52 | 51 | elrab 3363 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((abs‘(𝑦
− 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) = (abs‘(𝑏 − 𝐵)))) |
53 | 42, 49, 52 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
54 | | ne0i 3921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((abs‘(𝑦
− 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) |
55 | 53, 54 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) |
56 | 34, 55 | exlimddv 1863 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) |
57 | | ssrab2 3687 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) |
59 | | gtso 10119 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ◡ < Or ℝ |
60 | | fisupcl 8375 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((◡ < Or ℝ ∧ ({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ)) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
61 | 59, 60 | mpan 706 |
. . . . . . . . 9
⊢ (({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅ ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
62 | 31, 56, 58, 61 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
63 | 26, 62 | sseldd 3604 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈
ℝ+) |
64 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ) |
65 | | soss 5053 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ → (◡ < Or ℝ → ◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))})) |
66 | 57, 59, 65 | mp2 9 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} |
67 | 66 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) |
68 | | fisupg 8208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((◡ < Or {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ≠ ∅) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥))) |
69 | 67, 31, 56, 68 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥))) |
70 | | elrabi 3359 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑐 ∈ ℝ) |
71 | | elrabi 3359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} → 𝑑 ∈ ℝ) |
72 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑐 ∈ V |
73 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑑 ∈ V |
74 | 72, 73 | brcnv 5305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐◡ < 𝑑 ↔ 𝑑 < 𝑐) |
75 | 74 | notbii 310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
𝑐◡ < 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐) |
76 | | lenlt 10116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑐 ≤ 𝑑 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐)) |
77 | 76 | biimprd 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬
𝑑 < 𝑐 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
78 | 75, 77 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬
𝑐◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
79 | 78 | adantll 750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (¬
𝑐◡ < 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
80 | 71, 79 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → (¬ 𝑐◡
< 𝑑 → 𝑐 ≤ 𝑑)) |
81 | 80 | ralimdva 2962 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) →
(∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 → ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
82 | 81 | adantrd 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) →
((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥)) →
∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
83 | 70, 82 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → ((∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥)) →
∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
84 | 83 | reximdva 3017 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ¬ 𝑐◡
< 𝑑 ∧ ∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} (𝑑◡
< 𝑐 → ∃𝑥 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑑◡
< 𝑥)) →
∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑)) |
85 | 69, 84 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑) |
86 | 85 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑) |
87 | | lbinfle 10978 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))} ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}∀𝑑 ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}𝑐 ≤ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
88 | 64, 86, 53, 87 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
89 | | df-inf 8349 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
inf({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣
∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) |
90 | 89 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
sup({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) = inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) |
91 | 90 | breq1i 4660 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(sup({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ↔ inf({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
92 | 88, 91 | sylibr 224 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵))) |
93 | 57, 62 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ ℝ) |
94 | 93 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ ℝ) |
95 | 94, 42 | lenltd 10183 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
96 | 92, 95 | mpbid 222 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝐴 ⊆
ℝ ∧ 𝐵 ∈
ℝ) ∧ (𝐴 ≠
∅ ∧ ¬ 𝐵
∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < )) |
97 | 96 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < )) |
98 | | breq2 4657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) → ((abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
99 | 98 | notbid 308 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) → (¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
100 | 99 | ralbidv 2986 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ))) |
101 | 100 | rspcev 3309 |
. . . . . . 7
⊢
((sup({𝑎 ∈
ℝ ∣ ∃𝑏
∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < ) ∈ ℝ+ ∧
∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < sup({𝑎 ∈ ℝ ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑎 = (abs‘(𝑏 − 𝐵))}, ℝ, ◡ < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
102 | 63, 97, 101 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ+
∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
103 | | ralnex 2992 |
. . . . . . . 8
⊢
(∀𝑦 ∈
𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
104 | 103 | rexbii 3041 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
105 | | rexnal 2995 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
106 | 104, 105 | bitri 264 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
107 | 102, 106 | sylib 208 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) |
108 | 107 | ex 450 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)) |
109 | 108 | 3impa 1259 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐴 ∈ Fin → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥)) |
110 | 109 | con2d 129 |
. 2
⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥 → ¬ 𝐴 ∈ Fin)) |
111 | 110 | imp 445 |
1
⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐴 (abs‘(𝑦 − 𝐵)) < 𝑥) → ¬ 𝐴 ∈ Fin) |