Theorem sin01gt0 14920

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 1 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 25-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sin01gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin01gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10086	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 12236	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1076	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		3nn0 11310	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		reexpcl 12877	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
9		3re 11094	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3ne0 11115	. . . . . 6 ⊢ 3 ≠ 0
11		redivcl 10744	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	mp3an23 1416	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
13	8, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
14		3z 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
15		expgt0 12893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
16	14, 15	mp3an2 1412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴↑3))
17	16	3adant3 1081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1) → 0 < (𝐴↑3))
18	4, 17	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴↑3))
19		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 1
20	2, 19	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
21		3pos 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
22	9, 21	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
23		1lt3 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 3
24		ltdiv2 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → (1 < 3 ↔ ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
25	23, 24	mpbii 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ ((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3))) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
26	20, 22, 25	mp3an12 1414	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑3)) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
27	26	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℝ → (0 < (𝐴↑3) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1)))
28	8, 18, 27	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < ((𝐴↑3) / 1))
29	8	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
30	29	div1d 10793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 1) = (𝐴↑3))
31	28, 30	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < (𝐴↑3))
32		1nn0 11308	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 1 ∈ ℕ0)
34		1le3 11244	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 3
35		1z 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
36	35	eluz1i 11695	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 3))
37	14, 34, 36	mpbir2an 955	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ (ℤ≥‘1))
39	4	simp2bi 1077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
40		0re 10040	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
41		ltle 10126	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
42	40, 5, 41	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
43	39, 42	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
44	4	simp3bi 1078	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
45	5, 33, 38, 43, 44	leexp2rd 13042	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ (𝐴↑1))
46	5	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
47	46	exp1d 13003	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
48	45, 47	breqtrd 4679	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ≤ 𝐴)
49	13, 8, 5, 31, 48	ltletrd 10197	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) < 𝐴)
50	13, 5	posdifd 10614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3))))
51	49, 50	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
52		sin01bnd 14915	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
53	52	simpld 475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴))
54	5, 13	resubcld 10458	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ)
55	5	resincld 14873	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
56		lttr 10114	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
57	40, 56	mp3an1 1411	. . 3 ⊢ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
58	54, 55, 57	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((0 < (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) ∧ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)) → 0 < (sin‘𝐴)))
59	51, 53, 58	mp2and 715	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  3c3 11071  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  (,]cioc 12176  ↑cexp 12860  sincsin 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800

This theorem is referenced by:  sin02gt0  14922  sincos1sgn  14923  sincos4thpi  24265