Theorem 1to3vfriswmgr 27144

Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	|- V = (Vtx ` G )
3vfriswmgr.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
1to3vfriswmgr	|- ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, C   w, E   w, G   w, V   w, X   A, h, v, w   B, h, v   C, h, v   h, E, v   h, V, v

Allowed substitution hints:   G( v, h)   X( v, h)

Proof of Theorem 1to3vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3or 1038	. . 3 |- ( ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) <-> ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) \/ V = { A , B , C } ) )
2		3vfriswmgr.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
3		3vfriswmgr.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
4	2, 3	1to2vfriswmgr 27143	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
5	4	expcom 451	. . . 4 |- ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
6		tppreq3 4294	. . . . . . 7 |- ( B = C -> { A , B , C } = { A , B } )
7	6	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( V = { A , B , C } <-> V = { A , B } ) )
8		olc 399	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { A , B } -> ( V = { A } \/ V = { A , B } ) )
9	8	anim1i 592	. . . . . . . . 9 |- ( ( V = { A , B } /\ A e. X ) -> ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) /\ A e. X ) )
10	9	ancomd 467	. . . . . . . 8 |- ( ( V = { A , B } /\ A e. X ) -> ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } ) ) )
11	10, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( V = { A , B } /\ A e. X ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
12	11	ex 450	. . . . . 6 |- ( V = { A , B } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
13	7, 12	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( B = C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
14		tpprceq3 4335	. . . . . . . 8 |- ( -. ( B e. _V /\ B =/= A ) -> { C , A , B } = { C , A } )
15		tprot 4284	. . . . . . . . . . . . 13 |- { C , A , B } = { A , B , C }
16	15	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { C , A , B } = { C , A } <-> { A , B , C } = { C , A } )
17	16	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( { C , A , B } = { C , A } -> { A , B , C } = { C , A } )
18		prcom 4267	. . . . . . . . . . 11 |- { C , A } = { A , C }
19	17, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( { C , A , B } = { C , A } -> { A , B , C } = { A , C } )
20	19	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( { C , A , B } = { C , A } -> ( V = { A , B , C } <-> V = { A , C } ) )
21		olc 399	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { A , C } -> ( V = { A } \/ V = { A , C } ) )
22	2, 3	1to2vfriswmgr 27143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , C } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
23	21, 22	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. X /\ V = { A , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
24	23	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( V = { A , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
25	20, 24	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( { C , A , B } = { C , A } -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
26	14, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( -. ( B e. _V /\ B =/= A ) -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
27	26	a1d 25	. . . . . 6 |- ( -. ( B e. _V /\ B =/= A ) -> ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
28		tpprceq3 4335	. . . . . . . 8 |- ( -. ( C e. _V /\ C =/= A ) -> { B , A , C } = { B , A } )
29		tpcoma 4285	. . . . . . . . . . . . 13 |- { B , A , C } = { A , B , C }
30	29	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { B , A , C } = { B , A } <-> { A , B , C } = { B , A } )
31	30	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B , A , C } = { B , A } -> { A , B , C } = { B , A } )
32		prcom 4267	. . . . . . . . . . 11 |- { B , A } = { A , B }
33	31, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( { B , A , C } = { B , A } -> { A , B , C } = { A , B } )
34	33	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( { B , A , C } = { B , A } -> ( V = { A , B , C } <-> V = { A , B } ) )
35	8, 4	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. X /\ V = { A , B } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
36	35	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { A , B } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
37	36	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( V = { A , B } -> ( B =/= C -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
38	34, 37	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( { B , A , C } = { B , A } -> ( V = { A , B , C } -> ( B =/= C -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
39	28, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( -. ( C e. _V /\ C =/= A ) -> ( V = { A , B , C } -> ( B =/= C -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
40	39	com23 86	. . . . . 6 |- ( -. ( C e. _V /\ C =/= A ) -> ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
41		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. _V /\ B =/= A ) -> B e. _V )
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. _V /\ C =/= A ) -> C e. _V )
43	41, 42	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
45	44	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( ( B e. _V /\ C e. _V ) /\ A e. X ) )
46	45	ancomd 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( A e. X /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
47		3anass 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ B e. _V /\ C e. _V ) <-> ( A e. X /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
48	46, 47	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( A e. X /\ B e. _V /\ C e. _V ) )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. _V /\ B =/= A ) -> B =/= A )
50	49	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. _V /\ B =/= A ) -> A =/= B )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. _V /\ C =/= A ) -> C =/= A )
52	51	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. _V /\ C =/= A ) -> A =/= C )
53	50, 52	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) -> ( A =/= B /\ A =/= C ) )
54	53	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) -> ( ( A =/= B /\ A =/= C ) /\ B =/= C ) )
55		df-3an 1039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) <-> ( ( A =/= B /\ A =/= C ) /\ B =/= C ) )
56	54, 55	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )
57	56	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )
58		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> V = { A , B , C } )
59	2, 3	3vfriswmgr 27142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ B e. _V /\ C e. _V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
60	48, 57, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
61	60	exp41 638	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) -> ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
62	27, 40, 61	ecase 983	. . . . 5 |- ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
63	13, 62	pm2.61ine 2877	. . . 4 |- ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
64	5, 63	jaoi 394	. . 3 |- ( ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) \/ V = { A , B , C } ) -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
65	1, 64	sylbi 207	. 2 |- ( ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
66	65	impcom 446	1 |- ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  1to3vfriendship  27145