Theorem 3vfriswmgr 27142

Description: Every friendship graph with three (different) vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3vfriswmgr.v	|- V = (Vtx ` G )
3vfriswmgr.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
3vfriswmgr	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )

Distinct variable groups:   w, A   w, B   w, C   w, E   w, G   w, V   w, X   w, Y   A, h, v, w   B, h, v   C, h, v   h, E, v   h, V, v

Allowed substitution hints:   G( v, h)   X( v, h)   Y( v, h)   Z( w, v, h)

Proof of Theorem 3vfriswmgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrusgr 27124	. . . 4 |- ( G e. FriendGraph -> G e. USGraph )
2		3vfriswmgr.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (Vtx ` G )
3		3vfriswmgr.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (Edg ` G )
4	2, 3	frgr3v 27139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) )
5	4	exp4b 632	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( V = { A , B , C } -> ( G e. USGraph -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) ) ) ) )
6	5	3imp1 1280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( G e. FriendGraph <-> ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) )
7		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { C , A } = { A , C }
8	7	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { C , A } e. E <-> { A , C } e. E )
9	8	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { C , A } e. E -> { A , C } e. E )
10	9	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) -> { A , C } e. E )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> { A , C } e. E )
12		simpl11 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> A e. X )
13		simpl12 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> B e. Y )
14		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> A =/= B )
15	14	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> A =/= B )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> A =/= B )
17	12, 13, 16	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) )
18		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> V = { A , B , C } )
19	18	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) )
20	17, 19	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) )
21		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) -> { A , B } e. E )
22	2, 3	3vfriswmgrlem 27141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { A , B } e. E -> E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) )
23	22	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ A =/= B ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { A , B } e. E ) -> E! w e. { A , B } { A , w } e. E )
24	20, 21, 23	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> E! w e. { A , B } { A , w } e. E )
25	11, 24	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) )
26		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> { B , C } e. E )
27		necom 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A =/= B <-> B =/= A )
28	27	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A =/= B -> B =/= A )
29	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> B =/= A )
30	29	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> B =/= A )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> B =/= A )
32	13, 12, 31	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( B e. Y /\ A e. X /\ B =/= A ) )
33		tpcoma 4285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { A , B , C } = { B , A , C }
34	18, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> V = { B , A , C } )
35	34	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) )
36	32, 35	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( B e. Y /\ A e. X /\ B =/= A ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) )
37		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { A , B } = { B , A }
38	37	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { A , B } e. E <-> { B , A } e. E )
39	38	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { A , B } e. E -> { B , A } e. E )
40	39	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) -> { B , A } e. E )
41	2, 3	3vfriswmgrlem 27141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ B =/= A ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { B , A } e. E -> E! w e. { B , A } { B , w } e. E ) )
42	41	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ B =/= A ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { B , A } e. E ) -> E! w e. { B , A } { B , w } e. E )
43		reueq1 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { A , B } = { B , A } -> ( E! w e. { A , B } { B , w } e. E <-> E! w e. { B , A } { B , w } e. E ) )
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E! w e. { A , B } { B , w } e. E <-> E! w e. { B , A } { B , w } e. E )
45	42, 44	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. Y /\ A e. X /\ B =/= A ) /\ ( V = { B , A , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ { B , A } e. E ) -> E! w e. { A , B } { B , w } e. E )
46	36, 40, 45	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> E! w e. { A , B } { B , w } e. E )
47	26, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) )
48	25, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) /\ ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) )
49		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> { v , C } = { A , C } )
50	49	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( { v , C } e. E <-> { A , C } e. E ) )
51		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = A -> { v , w } = { A , w } )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = A -> ( { v , w } e. E <-> { A , w } e. E ) )
53	52	reubidv 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = A -> ( E! w e. { A , B } { v , w } e. E <-> E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) )
54	50, 53	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = A -> ( ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) ) )
55		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = B -> { v , C } = { B , C } )
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = B -> ( { v , C } e. E <-> { B , C } e. E ) )
57		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = B -> { v , w } = { B , w } )
58	57	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( v = B -> ( { v , w } e. E <-> { B , w } e. E ) )
59	58	reubidv 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = B -> ( E! w e. { A , B } { v , w } e. E <-> E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) )
60	56, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = B -> ( ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) )
61	54, 60	ralprg 4234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. X /\ B e. Y ) -> ( A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) /\ ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) ) )
62	61	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) /\ ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) ) )
63	62	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) /\ ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) /\ ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) <-> ( ( { A , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { A , w } e. E ) /\ ( { B , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { B , w } e. E ) ) ) )
66	48, 65	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) )
67		diftpsn3 4332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } )
68	67	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } )
69		reueq1 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { A , B , C } \ { C } ) = { A , B } -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E <-> E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E <-> E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) )
71	70	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) ) )
72	68, 71	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) ) )
73	72	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. { A , B } ( { v , C } e. E /\ E! w e. { A , B } { v , w } e. E ) ) )
76	66, 75	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) )
77	76	3mix3d 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { A } ) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { B } ) ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) )
78		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = A -> { h } = { A } )
79	78	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = A -> ( { A , B , C } \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { A } ) )
80		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = A -> { v , h } = { v , A } )
81	80	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = A -> ( { v , h } e. E <-> { v , A } e. E ) )
82		reueq1 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { A , B , C } \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { A } ) -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) )
83	79, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = A -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) )
84	81, 83	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = A -> ( ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) ) )
85	79, 84	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = A -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. ( { A , B , C } \ { A } ) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) ) )
86		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = B -> { h } = { B } )
87	86	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = B -> ( { A , B , C } \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { B } ) )
88		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = B -> { v , h } = { v , B } )
89	88	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = B -> ( { v , h } e. E <-> { v , B } e. E ) )
90		reueq1 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { A , B , C } \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { B } ) -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) )
91	87, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = B -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) )
92	89, 91	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = B -> ( ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) ) )
93	87, 92	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = B -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. ( { A , B , C } \ { B } ) ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) ) )
94		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = C -> { h } = { C } )
95	94	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = C -> ( { A , B , C } \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { C } ) )
96		preq2 4269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = C -> { v , h } = { v , C } )
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = C -> ( { v , h } e. E <-> { v , C } e. E ) )
98		reueq1 3140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { A , B , C } \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { C } ) -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) )
99	95, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = C -> ( E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) )
100	97, 99	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = C -> ( ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) )
101	95, 100	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = C -> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) )
102	85, 93, 101	rextpg 4237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { A } ) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { B } ) ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) ) )
103	102	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { A } ) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { B } ) ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) ) )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { A } ) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { B } ) ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> ( E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( A. v e. ( { A , B , C } \ { A } ) ( { v , A } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { A } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { B } ) ( { v , B } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { B } ) { v , w } e. E ) \/ A. v e. ( { A , B , C } \ { C } ) ( { v , C } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { C } ) { v , w } e. E ) ) ) )
106	77, 105	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) /\ ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) ) -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
107	106	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
108	6, 107	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ G e. USGraph ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
109	108	expcom 451	. . . . 5 |- ( G e. USGraph -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
110	109	com23 86	. . . 4 |- ( G e. USGraph -> ( G e. FriendGraph -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
111	1, 110	mpcom 38	. . 3 |- ( G e. FriendGraph -> ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
112	111	com12 32	. 2 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
113		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( V = { A , B , C } -> ( V \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { h } ) )
114		reueq1 3140	. . . . . . . 8 |- ( ( V \ { h } ) = ( { A , B , C } \ { h } ) -> ( E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
115	113, 114	syl 17	. . . . . . 7 |- ( V = { A , B , C } -> ( E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E <-> E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) )
116	115	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( V = { A , B , C } -> ( ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
117	113, 116	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( V = { A , B , C } -> ( A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
118	117	rexeqbi1dv 3147	. . . 4 |- ( V = { A , B , C } -> ( E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) <-> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
119	118	imbi2d 330	. . 3 |- ( V = { A , B , C } -> ( ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) <-> ( G e. FriendGraph -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
120	119	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) <-> ( G e. FriendGraph -> E. h e. { A , B , C } A. v e. ( { A , B , C } \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( { A , B , C } \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
121	112, 120	mpbird 247	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  1to3vfriswmgr  27144