Theorem 3dvdsdecOLD 15055

Description: Obsolete proof of 3dvdsdec 15054 as of 8-Sep-2021. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	|- A e. NN0
3dvdsdec.b	|- B e. NN0

Assertion

Ref	Expression
3dvdsdecOLD	|- ( 3 || ; A B <-> 3 || ( A + B ) )

Proof of Theorem 3dvdsdecOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdecOLD 11495	. . . 4 |- ; A B = ( ( 10 x. A ) + B )
2		df-10OLD 11087	. . . . . . 7 |- 10 = ( 9 + 1 )
3	2	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( 10 x. A ) = ( ( 9 + 1 ) x. A )
4		9cn 11108	. . . . . . 7 |- 9 e. CC
5		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
6		3dvdsdec.a	. . . . . . . 8 |- A e. NN0
7	6	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- A e. CC
8	4, 5, 7	adddiri 10051	. . . . . 6 |- ( ( 9 + 1 ) x. A ) = ( ( 9 x. A ) + ( 1 x. A ) )
9	7	mulid2i 10043	. . . . . . 7 |- ( 1 x. A ) = A
10	9	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( 9 x. A ) + ( 1 x. A ) ) = ( ( 9 x. A ) + A )
11	3, 8, 10	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( 10 x. A ) = ( ( 9 x. A ) + A )
12	11	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( 10 x. A ) + B ) = ( ( ( 9 x. A ) + A ) + B )
13	4, 7	mulcli 10045	. . . . 5 |- ( 9 x. A ) e. CC
14		3dvdsdec.b	. . . . . 6 |- B e. NN0
15	14	nn0cni 11304	. . . . 5 |- B e. CC
16	13, 7, 15	addassi 10048	. . . 4 |- ( ( ( 9 x. A ) + A ) + B ) = ( ( 9 x. A ) + ( A + B ) )
17	1, 12, 16	3eqtri 2648	. . 3 |- ; A B = ( ( 9 x. A ) + ( A + B ) )
18	17	breq2i 4661	. 2 |- ( 3 || ; A B <-> 3 || ( ( 9 x. A ) + ( A + B ) ) )
19		3z 11410	. . 3 |- 3 e. ZZ
20	6	nn0zi 11402	. . . 4 |- A e. ZZ
21	14	nn0zi 11402	. . . 4 |- B e. ZZ
22		zaddcl 11417	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A + B ) e. ZZ )
23	20, 21, 22	mp2an 708	. . 3 |- ( A + B ) e. ZZ
24		9nn 11192	. . . . . 6 |- 9 e. NN
25	24	nnzi 11401	. . . . 5 |- 9 e. ZZ
26		zmulcl 11426	. . . . 5 |- ( ( 9 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 9 x. A ) e. ZZ )
27	25, 20, 26	mp2an 708	. . . 4 |- ( 9 x. A ) e. ZZ
28		zmulcl 11426	. . . . . . 7 |- ( ( 3 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 3 x. A ) e. ZZ )
29	19, 20, 28	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( 3 x. A ) e. ZZ
30		dvdsmul1 15003	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ ( 3 x. A ) e. ZZ ) -> 3 || ( 3 x. ( 3 x. A ) ) )
31	19, 29, 30	mp2an 708	. . . . 5 |- 3 || ( 3 x. ( 3 x. A ) )
32		3t3e9 11180	. . . . . . . 8 |- ( 3 x. 3 ) = 9
33	32	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- 9 = ( 3 x. 3 )
34	33	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( 9 x. A ) = ( ( 3 x. 3 ) x. A )
35		3cn 11095	. . . . . . 7 |- 3 e. CC
36	35, 35, 7	mulassi 10049	. . . . . 6 |- ( ( 3 x. 3 ) x. A ) = ( 3 x. ( 3 x. A ) )
37	34, 36	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( 9 x. A ) = ( 3 x. ( 3 x. A ) )
38	31, 37	breqtrri 4680	. . . 4 |- 3 || ( 9 x. A )
39	27, 38	pm3.2i 471	. . 3 |- ( ( 9 x. A ) e. ZZ /\ 3 || ( 9 x. A ) )
40		dvdsadd2b 15028	. . 3 |- ( ( 3 e. ZZ /\ ( A + B ) e. ZZ /\ ( ( 9 x. A ) e. ZZ /\ 3 || ( 9 x. A ) ) ) -> ( 3 || ( A + B ) <-> 3 || ( ( 9 x. A ) + ( A + B ) ) ) )
41	19, 23, 39, 40	mp3an 1424	. 2 |- ( 3 || ( A + B ) <-> 3 || ( ( 9 x. A ) + ( A + B ) ) )
42	18, 41	bitr4i 267	1 |- ( 3 || ; A B <-> 3 || ( A + B ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   3c3 11071   9c9 11077   10c10 11078   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-dvds 14984

This theorem is referenced by: (None)