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Theorem 4fvwrd4 12459
Description: The first four function values of a word of length at least 4. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
4fvwrd4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Distinct variable groups:   P, a, b, c, d   V, a, b, c, d
Allowed substitution hints:   L( a, b, c, d)
Proof of Theorem 4fvwrd4
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> P : ( 0 ... L ) --> V )
2 0nn0 11307 . . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
3 elnn0uz 11725 . . . . . . . . 9 |- ( 0 e. NN0 <-> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
42, 3mpbi 220 . . . . . . . 8 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
5 3nn0 11310 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
6 elnn0uz 11725 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75, 6mpbi 220 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
8 uzss 11708 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 )
109sseli 3599 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11 eluzfz 12337 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
124, 10, 11sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
1312adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
141, 13ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
15 risset 3062 . . . . . 6 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V a = ( P ` 0 ) )
16 eqcom 2629 . . . . . . 7 |- ( a = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = a )
1716rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. a e. V a = ( P ` 0 ) <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1815, 17bitri 264 . . . . 5 |- ( ( P ` 0 ) e. V <-> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
1914, 18sylib 208 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V ( P ` 0 ) = a )
20 1eluzge0 11732 . . . . . . . 8 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
21 1z 11407 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
22 3z 11410 . . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
23 1le3 11244 . . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 3
24 eluz2 11693 . . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 1 <_ 3 ) )
2521, 22, 23, 24mpbir3an 1244 . . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
26 uzss 11708 . . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 3 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
2827sseli 3599 . . . . . . . 8 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29 eluzfz 12337 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3020, 28, 29sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
3130adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 1 e. ( 0 ... L ) )
321, 31ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
33 risset 3062 . . . . . 6 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V b = ( P ` 1 ) )
34 eqcom 2629 . . . . . . 7 |- ( b = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = b )
3534rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. b e. V b = ( P ` 1 ) <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3633, 35bitri 264 . . . . 5 |- ( ( P ` 1 ) e. V <-> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3732, 36sylib 208 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. b e. V ( P ` 1 ) = b )
3819, 37jca 554 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
39 2eluzge0 11733 . . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
40 uzuzle23 11729 . . . . . . 7 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> L e. ( ZZ>= ` 2 ) )
41 eluzfz 12337 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4239, 40, 41sylancr 695 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
4342adantr 481 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 2 e. ( 0 ... L ) )
441, 43ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
45 risset 3062 . . . . 5 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V c = ( P ` 2 ) )
46 eqcom 2629 . . . . . 6 |- ( c = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = c )
4746rexbii 3041 . . . . 5 |- ( E. c e. V c = ( P ` 2 ) <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4845, 47bitri 264 . . . 4 |- ( ( P ` 2 ) e. V <-> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
4944, 48sylib 208 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. c e. V ( P ` 2 ) = c )
50 eluzfz 12337 . . . . . . 7 |- ( ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ L e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
517, 50mpan 706 . . . . . 6 |- ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
5251adantr 481 . . . . 5 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> 3 e. ( 0 ... L ) )
531, 52ffvelrnd 6360 . . . 4 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( P ` 3 ) e. V )
54 risset 3062 . . . . 5 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V d = ( P ` 3 ) )
55 eqcom 2629 . . . . . 6 |- ( d = ( P ` 3 ) <-> ( P ` 3 ) = d )
5655rexbii 3041 . . . . 5 |- ( E. d e. V d = ( P ` 3 ) <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5754, 56bitri 264 . . . 4 |- ( ( P ` 3 ) e. V <-> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5853, 57sylib 208 . . 3 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. d e. V ( P ` 3 ) = d )
5938, 49, 58jca32 558 . 2 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
60 r19.42v 3092 . . . . . 6 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
61 r19.42v 3092 . . . . . . 7 |- ( E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) <-> ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6261anbi2i 730 . . . . . 6 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. d e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6360, 62bitri 264 . . . . 5 |- ( E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6463rexbii 3041 . . . 4 |- ( E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
65642rexbii 3042 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
66 r19.42v 3092 . . . . 5 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
67 r19.41v 3089 . . . . . 6 |- ( E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) <-> ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) )
6867anbi2i 730 . . . . 5 |- ( ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ E. c e. V ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
6966, 68bitri 264 . . . 4 |- ( E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
70692rexbii 3042 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
71 r19.41v 3089 . . . . . 6 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
72 r19.42v 3092 . . . . . . 7 |- ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) <-> ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7372anbi1i 731 . . . . . 6 |- ( ( E. b e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7471, 73bitri 264 . . . . 5 |- ( E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7574rexbii 3041 . . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
76 r19.41v 3089 . . . 4 |- ( E. a e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
77 r19.41v 3089 . . . . 5 |- ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) <-> ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) )
7877anbi1i 731 . . . 4 |- ( ( E. a e. V ( ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
7975, 76, 783bitri 286 . . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8065, 70, 793bitri 286 . 2 |- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) <-> ( ( E. a e. V ( P ` 0 ) = a /\ E. b e. V ( P ` 1 ) = b ) /\ ( E. c e. V ( P ` 2 ) = c /\ E. d e. V ( P ` 3 ) = d ) ) )
8159, 80sylibr 224 1 |- ( ( L e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ P : ( 0 ... L ) --> V ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V E. d e. V ( ( ( P ` 0 ) = a /\ ( P ` 1 ) = b ) /\ ( ( P ` 2 ) = c /\ ( P ` 3 ) = d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327
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