Theorem abvtriv 18841

Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as R is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 18838 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvtriv.a	|- A = (AbsVal ` R )
abvtriv.b	|- B = ( Base ` R )
abvtriv.z	|- .0. = ( 0g ` R )
abvtriv.f	|- F = ( x e. B |-> if ( x = .0. , 0 , 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
abvtriv	|- ( R e. DivRing -> F e. A )

Distinct variable groups:   x, .0.   x, R   x, B

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x)

Proof of Theorem abvtriv

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvtriv.a	. 2 |- A = (AbsVal ` R )
2		abvtriv.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
3		abvtriv.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` R )
4		abvtriv.f	. 2 |- F = ( x e. B |-> if ( x = .0. , 0 , 1 ) )
5		eqid 2622	. 2 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6		drngring 18754	. 2 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
7		biid 251	. . . . 5 |- ( R e. DivRing <-> R e. DivRing )
8		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( y e. ( B \ { .0. } ) <-> ( y e. B /\ y =/= .0. ) )
9		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( z e. ( B \ { .0. } ) <-> ( z e. B /\ z =/= .0. ) )
10	2, 5, 3	drngmcl 18760	. . . . 5 |- ( ( R e. DivRing /\ y e. ( B \ { .0. } ) /\ z e. ( B \ { .0. } ) ) -> ( y ( .r ` R ) z ) e. ( B \ { .0. } ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anbr 1370	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) /\ ( z e. B /\ z =/= .0. ) ) -> ( y ( .r ` R ) z ) e. ( B \ { .0. } ) )
12		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( ( y ( .r ` R ) z ) e. ( B \ { .0. } ) <-> ( ( y ( .r ` R ) z ) e. B /\ ( y ( .r ` R ) z ) =/= .0. ) )
13	11, 12	sylib 208	. . 3 |- ( ( R e. DivRing /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) /\ ( z e. B /\ z =/= .0. ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) z ) e. B /\ ( y ( .r ` R ) z ) =/= .0. ) )
14	13	simprd 479	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ ( y e. B /\ y =/= .0. ) /\ ( z e. B /\ z =/= .0. ) ) -> ( y ( .r ` R ) z ) =/= .0. )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	abvtrivd 18840	1 |- ( R e. DivRing -> F e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   DivRingcdr 18747  AbsValcabv 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ico 12181  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-abv 18817

This theorem is referenced by:  ostth1  25322  ostth  25328