Theorem xpfi 8231

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpfi	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Proof of Theorem xpfi

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 5128	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( x X. B ) = ( (/) X. B ) )
2	1	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( (/) X. B ) e. Fin ) )
3	2	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin ) ) )
4		xpeq1 5128	. . . . 5 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( x X. B ) = ( ( y \ { z } ) X. B ) )
5	4	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( y \ { z } ) -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) ) )
7		xpeq1 5128	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x X. B ) = ( y X. B ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
9	8	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = y -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
10		xpeq1 5128	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x X. B ) = ( A X. B ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x X. B ) e. Fin <-> ( A X. B ) e. Fin ) )
12	11	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = A -> ( ( B e. Fin -> ( x X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) ) )
13		0xp 5199	. . . . 5 |- ( (/) X. B ) = (/)
14		0fin 8188	. . . . 5 |- (/) e. Fin
15	13, 14	eqeltri 2697	. . . 4 |- ( (/) X. B ) e. Fin
16	15	a1i 11	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( (/) X. B ) e. Fin )
17		neq0 3930	. . . . . . 7 |- ( -. y = (/) <-> E. w w e. y )
18		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> { z } = { w } )
19	18	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( y \ { z } ) = ( y \ { w } ) )
20	19	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( ( y \ { z } ) X. B ) = ( ( y \ { w } ) X. B ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin <-> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) <-> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
23	22	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) ) )
25		pm2.27 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. Fin -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
26	25	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( B e. Fin -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) -> ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin ) )
27		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { w } e. _V
28		xpexg 6960	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { w } e. _V /\ B e. Fin ) -> ( { w } X. B ) e. _V )
29	27, 28	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. _V )
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. Fin -> B e. Fin )
31		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
32		2ndconst 7266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. _V -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
33	31, 32	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. Fin -> ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B )
34		f1oen2g 7972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( { w } X. B ) e. _V /\ B e. Fin /\ ( 2nd |` ( { w } X. B ) ) : ( { w } X. B ) -1-1-onto-> B ) -> ( { w } X. B ) ~~ B )
35	29, 30, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) ~~ B )
36		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Fin /\ ( { w } X. B ) ~~ B ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
37	35, 36	mpdan 702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Fin -> ( { w } X. B ) e. Fin )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( { w } X. B ) e. Fin )
39		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin )
40		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) )
41		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. y -> ( ( y \ { w } ) u. { w } ) = y )
42	41	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. y -> ( ( ( y \ { w } ) u. { w } ) X. B ) = ( y X. B ) )
43	40, 42	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. y -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) = ( y X. B ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. y -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin <-> ( y X. B ) e. Fin ) )
45	44	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. y -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) u. ( { w } X. B ) ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
47	39, 46	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin /\ ( { w } X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
48	38, 47	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( ( ( y \ { w } ) X. B ) e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) )
49	24, 26, 48	3syld 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) /\ w e. y ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
51	50	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( E. w w e. y -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
52	17, 51	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( -. y = (/) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
53		xpeq1 5128	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) = ( (/) X. B ) )
54	53, 15	syl6eqel 2709	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( y X. B ) e. Fin )
55	54	a1d 25	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
56	52, 55	pm2.61d2 172	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) )
57	56	ex 450	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
58	57	com23 86	. . 3 |- ( y e. Fin -> ( A. z e. y ( B e. Fin -> ( ( y \ { z } ) X. B ) e. Fin ) -> ( B e. Fin -> ( y X. B ) e. Fin ) ) )
59	3, 6, 9, 12, 16, 58	findcard 8199	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B e. Fin -> ( A X. B ) e. Fin ) )
60	59	imp 445	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin ) -> ( A X. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   -1-1-onto->wf1o 5887   2ndc2nd 7167   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  3xpfi  8232  mapfi  8262  fsuppxpfi  8292  infxpenlem  8836  ackbij1lem9  9050  ackbij1lem10  9051  hashxplem  13220  hashmap  13222  fsum2dlem  14501  fsumcom2  14505  fsumcom2OLD  14506  ackbijnn  14560  fprod2dlem  14710  fprodcom2  14714  fprodcom2OLD  14715  rexpen  14957  crth  15483  phimullem  15484  prmreclem3  15622  ablfaclem3  18486  gsumdixp  18609  gsumbagdiag  19376  psrass1lem  19377  evlslem2  19512  frlmbas3  20115  mamudm  20194  mamufacex  20195  mamures  20196  gsumcom3fi  20206  mamucl  20207  mamudi  20209  mamudir  20210  mamuvs1  20211  mamuvs2  20212  matsca2  20226  matbas2  20227  matplusg2  20233  matvsca2  20234  matplusgcell  20239  matsubgcell  20240  matvscacell  20242  matgsum  20243  mamumat1cl  20245  mattposcl  20259  mdetrsca  20409  mdetunilem9  20426  pmatcoe1fsupp  20506  tsmsxplem1  21956  tsmsxplem2  21957  tsmsxp  21958  i1fadd  23462  i1fmul  23463  itg1addlem4  23466  fsumdvdsmul  24921  fsumvma  24938  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  lgsquadlem3  25107  relfi  29415  fsumiunle  29575  sibfof  30402  hgt750lemb  30734  erdszelem10  31182  matunitlindflem2  33406  matunitlindf  33407  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  cntotbnd  33595  pellex  37399  fourierdlem42  40366  etransclem44  40495  etransclem45  40496  etransclem47  40498