Theorem acongtr 37545

Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongtr	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ ( ( A || ( B - C ) \/ A || ( B - -u C ) ) /\ ( A || ( C - D ) \/ A || ( C - -u D ) ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) )

Proof of Theorem acongtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		congtr 37532	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> A || ( B - D ) )
2	1	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> A || ( B - D ) )
3	2	orcd 407	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) )
4	3	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - D ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) ) )
5		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
6		znegcl 11412	. . . . . . . 8 |- ( C e. ZZ -> -u C e. ZZ )
7		znegcl 11412	. . . . . . . 8 |- ( D e. ZZ -> -u D e. ZZ )
8	6, 7	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( -u C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) )
9	8	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> ( -u C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) )
10		simplll 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - D ) ) -> A e. ZZ )
11		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - D ) ) -> C e. ZZ )
12		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - D ) ) -> D e. ZZ )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - D ) ) -> A || ( C - D ) )
14		congsym 37535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( D e. ZZ /\ A || ( C - D ) ) ) -> A || ( D - C ) )
15	10, 11, 12, 13, 14	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - D ) ) -> A || ( D - C ) )
16	15	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A || ( C - D ) -> A || ( D - C ) ) )
17		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ZZ -> C e. CC )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> C e. CC )
19		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ZZ -> D e. CC )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> D e. CC )
21	18, 20	neg2subd 10409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( -u C - -u D ) = ( D - C ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( -u C - -u D ) = ( D - C ) )
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( D - C ) = ( -u C - -u D ) )
24	23	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A || ( D - C ) <-> A || ( -u C - -u D ) ) )
25	16, 24	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A || ( C - D ) -> A || ( -u C - -u D ) ) )
26	25	anim2d 589	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) -> ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( -u C - -u D ) ) ) )
27	26	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( -u C - -u D ) ) )
28		congtr 37532	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -u C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( -u C - -u D ) ) ) -> A || ( B - -u D ) )
29	5, 9, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> A || ( B - -u D ) )
30	29	olcd 408	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) )
31	30	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - D ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) ) )
32		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
33	7	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) )
34	33	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) )
35		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) )
36		congtr 37532	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> A || ( B - -u D ) )
37	32, 34, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> A || ( B - -u D ) )
38	37	olcd 408	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) )
39	38	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - C ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) ) )
40		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
41	6	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( -u C e. ZZ /\ D e. ZZ ) )
42	41	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( -u C e. ZZ /\ D e. ZZ ) )
43		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> C e. ZZ )
45	43, 44	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) ) -> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
46	45	an42s 870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) )
48	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> -u D e. ZZ )
49	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> -u D e. ZZ )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> A || ( C - -u D ) )
51		congsym 37535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( -u D e. ZZ /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> A || ( -u D - C ) )
52	47, 49, 50, 51	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> A || ( -u D - C ) )
53	52	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A || ( C - -u D ) -> A || ( -u D - C ) ) )
54	18	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> -u -u C = C )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( -u D - -u -u C ) = ( -u D - C ) )
56		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u C e. ZZ -> -u C e. CC )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u C e. ZZ /\ -u D e. ZZ ) -> -u C e. CC )
58	8, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> -u C e. CC )
59	20, 58	neg2subd 10409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( -u D - -u -u C ) = ( -u C - D ) )
60	55, 59	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( -u D - C ) = ( -u C - D ) )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( -u D - C ) = ( -u C - D ) )
62	61	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A || ( -u D - C ) <-> A || ( -u C - D ) ) )
63	53, 62	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( A || ( C - -u D ) -> A || ( -u C - D ) ) )
64	63	anim2d 589	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( -u C - D ) ) ) )
65	64	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( -u C - D ) ) )
66		congtr 37532	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -u C e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( -u C - D ) ) ) -> A || ( B - D ) )
67	40, 42, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> A || ( B - D ) )
68	67	orcd 407	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) /\ ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) )
69	68	ex 450	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( A || ( B - -u C ) /\ A || ( C - -u D ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) ) )
70	4, 31, 39, 69	ccased 988	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) ) -> ( ( ( A || ( B - C ) \/ A || ( B - -u C ) ) /\ ( A || ( C - D ) \/ A || ( C - -u D ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) ) )
71	70	3impia 1261	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) /\ ( ( A || ( B - C ) \/ A || ( B - -u C ) ) /\ ( A || ( C - D ) \/ A || ( C - -u D ) ) ) ) -> ( A || ( B - D ) \/ A || ( B - -u D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   - cmin 10266   -ucneg 10267   ZZcz 11377   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  37565  jm2.26  37569  jm2.27a  37572