Theorem jm2.27a 37572

Description: Lemma for jm2.27 37575. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm2.27a2	|- ( ph -> B e. NN )
jm2.27a3	|- ( ph -> C e. NN )
jm2.27a4	|- ( ph -> D e. NN0 )
jm2.27a5	|- ( ph -> E e. NN0 )
jm2.27a6	|- ( ph -> F e. NN0 )
jm2.27a7	|- ( ph -> G e. NN0 )
jm2.27a8	|- ( ph -> H e. NN0 )
jm2.27a9	|- ( ph -> I e. NN0 )
jm2.27a10	|- ( ph -> J e. NN0 )
jm2.27a11	|- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 )
jm2.27a12	|- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 )
jm2.27a13	|- ( ph -> G e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm2.27a14	|- ( ph -> ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 )
jm2.27a15	|- ( ph -> E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
jm2.27a16	|- ( ph -> F || ( G - A ) )
jm2.27a17	|- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) )
jm2.27a18	|- ( ph -> F || ( H - C ) )
jm2.27a19	|- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( H - B ) )
jm2.27a20	|- ( ph -> B <_ C )
jm2.27a21	|- ( ph -> P e. ZZ )
jm2.27a22	|- ( ph -> D = ( A Xrm P ) )
jm2.27a23	|- ( ph -> C = ( A Yrm P ) )
jm2.27a24	|- ( ph -> Q e. ZZ )
jm2.27a25	|- ( ph -> F = ( A Xrm Q ) )
jm2.27a26	|- ( ph -> E = ( A Yrm Q ) )
jm2.27a27	|- ( ph -> R e. ZZ )
jm2.27a28	|- ( ph -> I = ( G Xrm R ) )
jm2.27a29	|- ( ph -> H = ( G Yrm R ) )

Assertion

Ref	Expression
jm2.27a	|- ( ph -> C = ( A Yrm B ) )

Proof of Theorem jm2.27a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27a23	. 2 |- ( ph -> C = ( A Yrm P ) )
2		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
3		jm2.27a3	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. NN )
4	3	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
5		zmulcl 11426	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( 2 x. C ) e. ZZ )
6	2, 4, 5	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. ZZ )
7		jm2.27a2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. NN )
8	7	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
9		jm2.27a27	. . . . 5 |- ( ph -> R e. ZZ )
10		jm2.27a21	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
11		jm2.27a8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. NN0 )
12	11	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> H e. ZZ )
13		jm2.27a19	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( H - B ) )
14		congsym 37535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ H e. ZZ ) /\ ( B e. ZZ /\ ( 2 x. C ) || ( H - B ) ) ) -> ( 2 x. C ) || ( B - H ) )
15	6, 12, 8, 13, 14	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( B - H ) )
16		jm2.27a17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) )
17		jm2.27a13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. ( ZZ>= ` 2 ) )
18	11	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ H )
19		rmy0 37494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( G Yrm 0 ) = 0 )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G Yrm 0 ) = 0 )
21		jm2.27a29	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H = ( G Yrm R ) )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G Yrm R ) = H )
23	18, 20, 22	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G Yrm 0 ) <_ ( G Yrm R ) )
24		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
25		lermy 37522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ R e. ZZ ) -> ( 0 <_ R <-> ( G Yrm 0 ) <_ ( G Yrm R ) ) )
26	17, 24, 9, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ R <-> ( G Yrm 0 ) <_ ( G Yrm R ) ) )
27	23, 26	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ R )
28		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. NN0 <-> ( R e. ZZ /\ 0 <_ R ) )
29	9, 27, 28	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. NN0 )
30		jm2.16nn0 37571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ R e. NN0 ) -> ( G - 1 ) || ( ( G Yrm R ) - R ) )
31	17, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G - 1 ) || ( ( G Yrm R ) - R ) )
32	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H - R ) = ( ( G Yrm R ) - R ) )
33	31, 32	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G - 1 ) || ( H - R ) )
34		jm2.27a7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. NN0 )
35	34	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. ZZ )
36		peano2zm 11420	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ZZ -> ( G - 1 ) e. ZZ )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G - 1 ) e. ZZ )
38	12, 9	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H - R ) e. ZZ )
39		dvdstr 15018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ ( G - 1 ) e. ZZ /\ ( H - R ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ ( G - 1 ) || ( H - R ) ) -> ( 2 x. C ) || ( H - R ) ) )
40	6, 37, 38, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ ( G - 1 ) || ( H - R ) ) -> ( 2 x. C ) || ( H - R ) ) )
41	16, 33, 40	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( H - R ) )
42		congtr 37532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( H e. ZZ /\ R e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( B - H ) /\ ( 2 x. C ) || ( H - R ) ) ) -> ( 2 x. C ) || ( B - R ) )
43	6, 8, 12, 9, 15, 41, 42	syl222anc 1342	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( B - R ) )
44	43	orcd 407	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) || ( B - R ) \/ ( 2 x. C ) || ( B - -u R ) ) )
45		jm2.27a24	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. ZZ )
46		zmulcl 11426	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> ( 2 x. Q ) e. ZZ )
47	2, 45, 46	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. Q ) e. ZZ )
48		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
49	4, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
50		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( C ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( C ^ 2 ) || ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) )
51	2, 49, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) || ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) )
52		jm2.27a10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> J e. NN0 )
53	52	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. ZZ )
54	53	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ZZ )
55		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( C ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. ZZ )
56	2, 49, 55	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. ZZ )
57		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C ^ 2 ) e. ZZ /\ ( J + 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( C ^ 2 ) || ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) -> ( C ^ 2 ) || ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) ) )
58	49, 54, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) || ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) -> ( C ^ 2 ) || ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) ) )
59	51, 58	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) || ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
60	1	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( A Yrm P ) ^ 2 ) )
61		jm2.27a15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
62		jm2.27a26	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E = ( A Yrm Q ) )
63	61, 62	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) = ( A Yrm Q ) )
64	59, 60, 63	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A Yrm P ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) )
65		jm2.27a1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
66	54	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. RR )
67	56	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. RR )
68		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. NN0 -> ( J + 1 ) e. NN )
69	52, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. NN )
70	69	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( J + 1 ) )
71		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. NN
72	3	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. NN )
73		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. NN /\ ( C ^ 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. NN )
74	71, 72, 73	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. NN )
75	74	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) )
76	66, 67, 70, 75	mulgt0d 10192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 < ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
77	76, 61	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < E )
78		rmy0 37494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
79	65, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
80	62	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A Yrm Q ) = E )
81	77, 79, 80	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm Q ) )
82		ltrmy 37519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> ( 0 < Q <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm Q ) ) )
83	65, 24, 45, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < Q <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm Q ) ) )
84	81, 83	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < Q )
85		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q e. NN <-> ( Q e. ZZ /\ 0 < Q ) )
86	45, 84, 85	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. NN )
87	3	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < C )
88	1	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A Yrm P ) = C )
89	87, 79, 88	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm P ) )
90		ltrmy 37519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 0 < P <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm P ) ) )
91	65, 24, 10, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < P <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm P ) ) )
92	89, 91	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < P )
93		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN <-> ( P e. ZZ /\ 0 < P ) )
94	10, 92, 93	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. NN )
95		jm2.20nn 37564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Q e. NN /\ P e. NN ) -> ( ( ( A Yrm P ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) <-> ( P x. ( A Yrm P ) ) || Q ) )
96	65, 86, 94, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A Yrm P ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) <-> ( P x. ( A Yrm P ) ) || Q ) )
97	64, 96	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P x. ( A Yrm P ) ) || Q )
98	1, 4	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A Yrm P ) e. ZZ )
99		muldvds2 15007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( A Yrm P ) e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> ( ( P x. ( A Yrm P ) ) || Q -> ( A Yrm P ) || Q ) )
100	10, 98, 45, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P x. ( A Yrm P ) ) || Q -> ( A Yrm P ) || Q ) )
101	97, 100	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A Yrm P ) || Q )
102	1, 101	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> C || Q )
103	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
104		dvdscmul 15008	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( C || Q -> ( 2 x. C ) || ( 2 x. Q ) ) )
105	4, 45, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C || Q -> ( 2 x. C ) || ( 2 x. Q ) ) )
106	102, 105	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( 2 x. Q ) )
107		jm2.27a25	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = ( A Xrm Q ) )
108		jm2.27a6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. NN0 )
109	108	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
110	107, 109	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) e. ZZ )
111		frmy 37479	. . . . . . . . . . 11 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
112	111	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ R e. ZZ ) -> ( A Yrm R ) e. ZZ )
113	65, 9, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Yrm R ) e. ZZ )
114	21, 12	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G Yrm R ) e. ZZ )
115		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
116	65, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
117		jm2.27a16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F || ( G - A ) )
118		congsym 37535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ZZ /\ G e. ZZ ) /\ ( A e. ZZ /\ F || ( G - A ) ) ) -> F || ( A - G ) )
119	109, 35, 116, 117, 118	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F || ( A - G ) )
120	107, 119	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) || ( A - G ) )
121		jm2.15nn0 37570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ R e. NN0 ) -> ( A - G ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) )
122	65, 17, 29, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A - G ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) )
123	116, 35	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A - G ) e. ZZ )
124	113, 114	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) e. ZZ )
125		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Xrm Q ) e. ZZ /\ ( A - G ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm Q ) || ( A - G ) /\ ( A - G ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) ) -> ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) ) )
126	110, 123, 124, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A Xrm Q ) || ( A - G ) /\ ( A - G ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) ) -> ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) ) )
127	120, 122, 126	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) )
128		jm2.27a18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F || ( H - C ) )
129	21, 1	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H - C ) = ( ( G Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) )
130	128, 107, 129	3brtr3d 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) || ( ( G Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) )
131		congtr 37532	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A Xrm Q ) e. ZZ /\ ( A Yrm R ) e. ZZ ) /\ ( ( G Yrm R ) e. ZZ /\ ( A Yrm P ) e. ZZ ) /\ ( ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( G Yrm R ) ) /\ ( A Xrm Q ) || ( ( G Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) ) ) -> ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) )
132	110, 113, 114, 98, 127, 130, 131	syl222anc 1342	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) )
133	132	orcd 407	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) \/ ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - -u ( A Yrm P ) ) ) )
134		jm2.26 37569	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Q e. NN ) /\ ( R e. ZZ /\ P e. ZZ ) ) -> ( ( ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) \/ ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - -u ( A Yrm P ) ) ) <-> ( ( 2 x. Q ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. Q ) || ( R - -u P ) ) ) )
135	65, 86, 9, 10, 134	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - ( A Yrm P ) ) \/ ( A Xrm Q ) || ( ( A Yrm R ) - -u ( A Yrm P ) ) ) <-> ( ( 2 x. Q ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. Q ) || ( R - -u P ) ) ) )
136	133, 135	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. Q ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. Q ) || ( R - -u P ) ) )
137		dvdsacongtr 37551	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 x. Q ) e. ZZ /\ R e. ZZ ) /\ ( P e. ZZ /\ ( 2 x. C ) e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( 2 x. Q ) /\ ( ( 2 x. Q ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. Q ) || ( R - -u P ) ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( R - -u P ) ) )
138	47, 9, 10, 6, 106, 136, 137	syl222anc 1342	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( R - -u P ) ) )
139		acongtr 37545	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( R e. ZZ /\ P e. ZZ ) /\ ( ( ( 2 x. C ) || ( B - R ) \/ ( 2 x. C ) || ( B - -u R ) ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( R - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( R - -u P ) ) ) ) -> ( ( 2 x. C ) || ( B - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( B - -u P ) ) )
140	6, 8, 9, 10, 44, 138, 139	syl222anc 1342	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) || ( B - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( B - -u P ) ) )
141	7	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. NN0 )
142	3	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. NN0 )
143		jm2.27a20	. . . . . 6 |- ( ph -> B <_ C )
144		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 ... C ) <-> ( B e. NN0 /\ C e. NN0 /\ B <_ C ) )
145	141, 142, 143, 144	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ( 0 ... C ) )
146	94	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. NN0 )
147		rmygeid 37531	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ P e. NN0 ) -> P <_ ( A Yrm P ) )
148	65, 146, 147	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> P <_ ( A Yrm P ) )
149	148, 1	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> P <_ C )
150		elfz2nn0 12431	. . . . . 6 |- ( P e. ( 0 ... C ) <-> ( P e. NN0 /\ C e. NN0 /\ P <_ C ) )
151	146, 142, 149, 150	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ( 0 ... C ) )
152		acongeq 37550	. . . . 5 |- ( ( C e. NN /\ B e. ( 0 ... C ) /\ P e. ( 0 ... C ) ) -> ( B = P <-> ( ( 2 x. C ) || ( B - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( B - -u P ) ) ) )
153	3, 145, 151, 152	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( B = P <-> ( ( 2 x. C ) || ( B - P ) \/ ( 2 x. C ) || ( B - -u P ) ) ) )
154	140, 153	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> B = P )
155	154	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( A Yrm B ) = ( A Yrm P ) )
156	1, 155	eqtr4d 2659	1 |- ( ph -> C = ( A Yrm B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   || cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.27b  37573