jm2.26 - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem jm2.26 37569

Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.26	$/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$

Proof of Theorem jm2.26 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acongrep 37547	. . . 4 $/\$ $\/$
2	1	ad2ant2l 782	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
3		acongrep 37547	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
4	3	ad2ant2lr 784	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
5		2z 11409	. . . . . . . . . . 11
6		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $/\$
7		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
10		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . 11 $/\$
11	5, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
12		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
13	12	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
14		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
15		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
17		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
18	17	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
19		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
20		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
21		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
22	21	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
23		frmx 37478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 X_rm
24	23	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ X_rm
25	24	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ X_rm
26	22, 9, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm
27		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	20, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
29		frmy 37479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Y_rm
30	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Y_rm
31	22, 28, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm Y_rm
32	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Y_rm
33	22, 18, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm Y_rm
34	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Y_rm
35	22, 16, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm Y_rm
36	29	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Y_rm
37	22, 13, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm Y_rm
38		jm2.26a 37567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
39	22, 9, 28, 13, 38	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
40	19, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
41		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
42		acongtr 37545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 X_rm $/\$ Y_rm $/\$ Y_rm $/\$ Y_rm $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
43	26, 31, 37, 33, 40, 41, 42	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
44		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
45		acongsym 37543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
46	11, 16, 18, 44, 45	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
47		jm2.26a 37567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
48	22, 9, 18, 16, 47	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
49	46, 48	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
50		acongtr 37545	. . . . . . . . . . . . . . 15 X_rm $/\$ Y_rm $/\$ Y_rm $/\$ Y_rm $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
51	26, 31, 33, 35, 43, 49, 50	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
52		jm2.26lem3 37568	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
53	6, 20, 14, 51, 52	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
54		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
55		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14
56	54, 55	acongeq12d 37546	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $\/$
57	53, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ $\/$
58	19, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
59		acongsym 37543	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
60	11, 16, 13, 58, 59	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
61		acongtr 37545	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $\/$
62	11, 13, 16, 18, 60, 44, 61	syl222anc 1342	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
63	62	3exp1 1283	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
64	63	expd 452	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
65	64	rexlimdv 3030	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
66	4, 65	mpd 15	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
67	66	expd 452	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
68	67	rexlimdv 3030	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
69	2, 68	mpd 15	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$
70		jm2.26a 37567	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
71	7, 70	sylanl2 683	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm
72	69, 71	impbid 202	1 $/\$ $/\$ $/\$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$ X_rm Y_rm Y_rm $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wcel 1990

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc0 9936

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cdvds 14983 X_rm crmx 37464 Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-numer 15443 df-denom 15444 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-squarenn 37405 df-pell1qr 37406 df-pell14qr 37407 df-pell1234qr 37408 df-pellfund 37409 df-rmx 37466 df-rmy 37467

This theorem is referenced by: jm2.27a 37572

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