Theorem domfi 8181

Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domfi	|- ( ( A e. Fin /\ B ~<_ A ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem domfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domeng 7969	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( B ~<_ A <-> E. x ( B ~~ x /\ x C_ A ) ) )
2		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ x C_ A ) -> x e. Fin )
3	2	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ ( B ~~ x /\ x C_ A ) ) -> x e. Fin )
4		enfii 8177	. . . . . . 7 |- ( ( x e. Fin /\ B ~~ x ) -> B e. Fin )
5	4	adantrr 753	. . . . . 6 |- ( ( x e. Fin /\ ( B ~~ x /\ x C_ A ) ) -> B e. Fin )
6	3, 5	sylancom 701	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( B ~~ x /\ x C_ A ) ) -> B e. Fin )
7	6	ex 450	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( B ~~ x /\ x C_ A ) -> B e. Fin ) )
8	7	exlimdv 1861	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( E. x ( B ~~ x /\ x C_ A ) -> B e. Fin ) )
9	1, 8	sylbid 230	. 2 |- ( A e. Fin -> ( B ~<_ A -> B e. Fin ) )
10	9	imp 445	1 |- ( ( A e. Fin /\ B ~<_ A ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  xpfir  8182  dmfi  8244  fofi  8252  pwfilem  8260  pwfi  8261  sdom2en01  9124  isfin1-2  9207  fin67  9217  fin1a2lem9  9230  gchcda1  9478  hashdomi  13169  symggen  17890  cmpsub  21203  ufinffr  21733  alexsubALT  21855  ovolicc2lem4  23288  aannenlem1  24083  ffsrn  29504  locfinreflem  29907  lindsenlbs  33404  harinf  37601  kelac2lem  37634  disjinfi  39380