Theorem axcc2lem 9258

Description: Lemma for axcc2 9259. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc2lem.1	|- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
axcc2lem.2	|- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
axcc2lem.3	|- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axcc2lem	|- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   f, F, g   g, G, n   n, K

Allowed substitution hints:   A( g)   F( n)   G( f)   K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem

Dummy variables a z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . 4 |- ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V
2		axcc2lem.3	. . . 4 |- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
3	1, 2	fnmpti 6022	. . 3 |- G Fn om
4		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n } e. _V
5		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K ` n ) e. _V
6	4, 5	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V
7		axcc2lem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
8	7	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
9	6, 8	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n e. _V
11	10	snnz 4309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { n } =/= (/)
12		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. _V
13	12	snnz 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { (/) } =/= (/)
14		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = { (/) } )
15	14	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) <-> { (/) } =/= (/) ) )
16	13, 15	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
17		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
18		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) =/= (/) <-> -. ( F ` n ) = (/) )
19	18	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) =/= (/) )
20	17, 19	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
21	16, 20	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/)
22		p0ex 4853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { (/) } e. _V
23		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` n ) e. _V
24	22, 23	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V
25		axcc2lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
26	25	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. om /\ if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
27	24, 26	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. om -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
28	27	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( ( K ` n ) =/= (/) <-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) ) )
29	21, 28	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( K ` n ) =/= (/) )
30		xpnz 5553	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
31	30	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
32	11, 29, 31	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
33	9, 32	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( A ` n ) =/= (/) )
34	6, 7	fnmpti 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A Fn om
35		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Fn om /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
36	34, 35	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) e. ran A )
37		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( z =/= (/) <-> ( A ` n ) =/= (/) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> ( f ` z ) = ( f ` ( A ` n ) ) )
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> z = ( A ` n ) )
40	38, 39	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
41	37, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
42	41	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( A ` n ) e. ran A -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
43	36, 42	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
44	33, 43	mpdi 45	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
45	44	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) )
46	9	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
48	45, 47	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) )
49		xp2nd 7199	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
51	50	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
52	2	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
53	1, 52	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
54	53	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
55	54	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) = ( G ` n ) )
56	27	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
57		ifnefalse 4098	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) =/= (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
58	57	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = ( F ` n ) )
60	51, 55, 59	3eltr3d 2715	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) )
61	60	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
62	61	expcom 451	. . . 4 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
63	62	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
64		omex 8540	. . . . 5 |- om e. _V
65		fnex 6481	. . . . 5 |- ( ( G Fn om /\ om e. _V ) -> G e. _V )
66	3, 64, 65	mp2an 708	. . . 4 |- G e. _V
67		fneq1 5979	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g Fn om <-> G Fn om ) )
68		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
70	69	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
71	70	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( g = G -> ( A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
72	67, 71	anbi12d 747	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) <-> ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) ) )
73	66, 72	spcev 3300	. . 3 |- ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
74	3, 63, 73	sylancr 695	. 2 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
75	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ n e. om ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
76	75, 7	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( om e. _V -> A : om --> _V )
77	64, 76	ax-mp 5	. . . 4 |- A : om --> _V
78		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> { n } = { k } )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( K ` n ) = ( K ` k ) )
80	78, 79	xpeq12d 5140	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
81	80, 7, 6	fvmpt3i 6287	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
82	81	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
83	82	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) <-> ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
84	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
85	84	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
86		xp11 5569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
87	11, 29, 86	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
88	10	sneqr 4371	. . . . . . . . . 10 |- ( { n } = { k } -> n = k )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) -> n = k )
90	87, 89	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
92	85, 91	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
93	83, 92	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) )
94	93	rgen2a 2977	. . . 4 |- A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k )
95		dff13 6512	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V <-> ( A : om --> _V /\ A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) ) )
96	77, 94, 95	mpbir2an 955	. . 3 |- A : om -1-1-> _V
97		f1f1orn 6148	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V -> A : om -1-1-onto-> ran A )
98	64	f1oen 7976	. . . 4 |- ( A : om -1-1-onto-> ran A -> om ~~ ran A )
99		ensym 8005	. . . 4 |- ( om ~~ ran A -> ran A ~~ om )
100	97, 98, 99	3syl 18	. . 3 |- ( A : om -1-1-> _V -> ran A ~~ om )
101	7	rneqi 5352	. . . . 5 |- ran A = ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
102		dmmptg 5632	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V -> dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om )
103	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
104	102, 103	mprg 2926	. . . . . . 7 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om
105	104, 64	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
106		funmpt 5926	. . . . . 6 |- Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
107		funrnex 7133	. . . . . 6 |- ( dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V -> ( Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) -> ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V ) )
108	105, 106, 107	mp2 9	. . . . 5 |- ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
109	101, 108	eqeltri 2697	. . . 4 |- ran A e. _V
110		breq1 4656	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( a ~~ om <-> ran A ~~ om ) )
111		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( a = ran A -> ( A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
112	111	exbidv 1850	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
113	110, 112	imbi12d 334	. . . 4 |- ( a = ran A -> ( ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
114		ax-cc 9257	. . . 4 |- ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
115	109, 113, 114	vtocl 3259	. . 3 |- ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
116	96, 100, 115	mp2b 10	. 2 |- E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z )
117	74, 116	exlimiiv 1859	1 |- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   2ndc2nd 7167   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956

This theorem is referenced by:  axcc2  9259