Theorem axcc3 9260

Description: A possibly more useful version of ax-cc 9257 using sequences F ( n ) instead of countable sets. The Axiom of Infinity is needed to prove this, and indeed this implies the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc3.1	|- F e. _V
axcc3.2	|- N ~~ om

Assertion

Ref	Expression
axcc3	|- E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) )

Distinct variable groups:   f, F   f, N, n

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem axcc3

Dummy variables g h k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcc3.2	. . 3 |- N ~~ om
2		relen 7960	. . . 4 |- Rel ~~
3	2	brrelexi 5158	. . 3 |- ( N ~~ om -> N e. _V )
4		mptexg 6484	. . 3 |- ( N e. _V -> ( n e. N |-> F ) e. _V )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. 2 |- ( n e. N |-> F ) e. _V
6		bren 7964	. . . 4 |- ( N ~~ om <-> E. h h : N -1-1-onto-> om )
7	1, 6	mpbi 220	. . 3 |- E. h h : N -1-1-onto-> om
8		axcc2 9259	. . . . 5 |- E. g ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) )
9		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> h : N --> om )
10		fnfco 6069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn om /\ h : N --> om ) -> ( g o. h ) Fn N )
11	9, 10	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( g o. h ) Fn N )
12	11	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( g o. h ) Fn N )
13	12	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( g o. h ) Fn N )
14		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( n e. N |-> F )
15	14	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 |- F/ n k = ( n e. N |-> F )
16		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) )
17		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n h : N -1-1-onto-> om
18	15, 16, 17	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( k = ( n e. N |-> F ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om )
19	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( h ` n ) e. om )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( k o. `' h ) ` m ) = ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
21	20	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) <-> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = ( h ` n ) -> ( g ` m ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
23	22, 20	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) <-> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) )
24	21, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) <-> ( ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) ) )
25	24	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h ` n ) e. om -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) ) )
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) ) )
27	26	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) ) )
28		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> `' h : om -1-1-onto-> N )
29		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( `' h : om -1-1-onto-> N -> `' h : om --> N )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> `' h : om --> N )
31		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( `' h : om --> N /\ ( h ` n ) e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
32	30, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ ( h ` n ) e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
33	19, 32	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
34	33	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
35		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( `' h ` ( h ` n ) ) = n )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
37	36	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
38		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( k ` n ) = ( ( n e. N |-> F ) ` n ) )
39		axcc3.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F e. _V
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. N |-> F ) = ( n e. N |-> F )
41	40	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. N /\ F e. _V ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` n ) = F )
42	39, 41	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. N -> ( ( n e. N |-> F ) ` n ) = F )
43	38, 42	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ n e. N ) -> ( k ` n ) = F )
44	43	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( k ` n ) = F )
45	34, 37, 44	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = F )
46	45	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = F )
47	46	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = F )
48	47	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) <-> F =/= (/) ) )
49	9	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> h : N --> om )
50		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( h : N --> om /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
51	49, 50	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
52	51	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( ( g o. h ) ` n ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) <-> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) )
53	47	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( ( g o. h ) ` n ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) <-> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
54	52, 53	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) <-> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
55	48, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( ( ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) =/= (/) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) <-> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
56	27, 55	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ n e. N ) -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
57	56	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( n e. N -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) ) )
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ g Fn om /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( n e. N -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) ) )
59	58	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( g Fn om -> ( h : N -1-1-onto-> om -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( n e. N -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) ) ) ) )
60	59	com34 91	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( g Fn om -> ( A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) -> ( h : N -1-1-onto-> om -> ( n e. N -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) ) ) ) )
61	60	imp32 449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) ) -> ( h : N -1-1-onto-> om -> ( n e. N -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) ) )
62	61	3impia 1261	. . . . . . . . 9 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( n e. N -> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
63	18, 62	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> A. n e. N ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
64		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
65		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- h e. _V
66	64, 65	coex 7118	. . . . . . . . 9 |- ( g o. h ) e. _V
67		fneq1 5979	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f Fn N <-> ( g o. h ) Fn N ) )
68		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` n ) = ( ( g o. h ) ` n ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` n ) e. F <-> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
70	69	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) <-> ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
71	70	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) <-> A. n e. N ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
72	67, 71	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) <-> ( ( g o. h ) Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) ) )
73	66, 72	spcev 3300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g o. h ) Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) )
74	13, 63, 73	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( k = ( n e. N |-> F ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) )
75	74	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> ( h : N -1-1-onto-> om -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) ) ) )
76	75	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( E. g ( g Fn om /\ A. m e. om ( ( ( k o. `' h ) ` m ) =/= (/) -> ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> ( h : N -1-1-onto-> om -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) ) ) )
77	8, 76	mpi 20	. . . 4 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( h : N -1-1-onto-> om -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) ) )
78	77	exlimdv 1861	. . 3 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( E. h h : N -1-1-onto-> om -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) ) )
79	7, 78	mpi 20	. 2 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) ) )
80	5, 79	vtocle 3282	1 |- E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( F =/= (/) -> ( f ` n ) e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956

This theorem is referenced by:  axcc4  9261  domtriomlem  9264  ovnsubaddlem2  40785