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Theorem ovnsubaddlem2 40785
Description: (voln* ` X ) is subadditive. Proposition 115D (a)(iv) of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnsubaddlem2.x |- ( ph -> X e. Fin )
ovnsubaddlem2.n0 |- ( ph -> X =/= (/) )
ovnsubaddlem2.a |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
ovnsubaddlem2.e |- ( ph -> E e. RR+ )
ovnsubaddlem2.z |- Z = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
ovnsubaddlem2.c |- C = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
ovnsubaddlem2.l |- L = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
ovnsubaddlem2.d |- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
Assertion
Ref Expression
ovnsubaddlem2 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
Distinct variable groups:   A, a, e, i, j, n   A, k, l, a, i, j, n   z, A, a, i, j, k, n   C, a, e, i   D, a, e, i, j, n   D, k   E, a, e, i, j, n   k, E   L, a, e, i, j, n   X, a, e, i, j, n   h, X, k, i, j   X, l   z, X   ph, a, e, i, j, n   ph, k
Allowed substitution hints:   ph( z, h, l)   A( h)   C( z, h, j, k, n, l)   D( z, h, l)   E( z, h, l)   L( z, h, k, l)   Z( z, e, h, i, j, k, n, a, l)
Proof of Theorem ovnsubaddlem2
Dummy variables f g m q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6201 . . . 4 |- ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
2 nnenom 12779 . . . 4 |- NN ~~ om
31, 2axcc3 9260 . . 3 |- E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> g Fn NN )
5 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ n ph
6 nfra1 2941 . . . . . . . . 9 |- F/ n A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
75, 6nfan 1828 . . . . . . . 8 |- F/ n ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
8 rspa 2930 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
98adantll 750 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
10 ovnsubaddlem2.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. Fin )
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
12 ovnsubaddlem2.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X =/= (/) )
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X =/= (/) )
14 ovnsubaddlem2.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
1715, 16ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) )
18 elpwi 4168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ` n ) e. ~P ( RR ^m X ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( RR ^m X ) )
20 ovnsubaddlem2.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR+ )
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E e. RR+ )
22 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
23 2nn 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN )
25 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
26 nnexpcl 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
2724, 25, 26syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. NN )
28 nnrp 11842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 ^ n ) e. NN -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
3022, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
3221, 31rpdivcld 11889 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
33 ovnsubaddlem2.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { l e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) | a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( l ` j ) ) ` k ) } )
34 ovnsubaddlem2.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- L = ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) )
35 ovnsubaddlem2.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- D = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> ( e e. RR+ |-> { i e. ( C ` a ) | (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( L ` ( i ` j ) ) ) ) <_ ( ( (voln* ` X ) ` a ) +e e ) } ) )
3611, 13, 19, 32, 33, 34, 35ovncvrrp 40778 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. i i e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
37 n0 3931 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) <-> E. i i e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
3836, 37sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) )
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) )
40 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4139, 40mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
4241ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4342adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
449, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
4544ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( n e. NN -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
467, 45ralrimi 2957 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
4746adantrl 752 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
484, 47jca 554 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) ) -> ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
4948ex 450 . . . 4 |- ( ph -> ( ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
5049eximdv 1846 . . 3 |- ( ph -> ( E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
513, 50mpi 20 . 2 |- ( ph -> E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
52 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ph )
53 simprl 794 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> g Fn NN )
54 simprr 796 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
55 nnf1oxpnn 39384 . . . . . 6 |- E. f f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN )
56 simpl1 1064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> ph )
57 simpl2 1065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> g Fn NN )
58 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = n -> ( g ` q ) = ( g ` n ) )
59 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = n -> ( A ` q ) = ( A ` n ) )
6059fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = n -> ( D ` ( A ` q ) ) = ( D ` ( A ` n ) ) )
61 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q = n -> ( 2 ^ q ) = ( 2 ^ n ) )
6261oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = n -> ( E / ( 2 ^ q ) ) = ( E / ( 2 ^ n ) ) )
6360, 62fveq12d 6197 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = n -> ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) = ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
6458, 63eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = n -> ( ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) <-> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
6564cbvralv 3171 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) <-> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
6665biimpri 218 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) -> A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) )
67663ad2ant3 1084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) )
6867adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) )
69 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
7010adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X e. Fin )
71703ad2antl1 1223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X e. Fin )
7212adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X =/= (/) )
73723ad2antl1 1223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> X =/= (/) )
7414adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
75743ad2antl1 1223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> A : NN --> ~P ( RR ^m X ) )
7620adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> E e. RR+ )
77763ad2antl1 1223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> E e. RR+ )
78 ovnsubaddlem2.z . . . . . . . . . 10 |- Z = ( a e. ~P ( RR ^m X ) |-> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( a C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
79 coeq2 5280 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = i -> ( [,) o. h ) = ( [,) o. i ) )
8079fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = i -> ( ( [,) o. h ) ` k ) = ( ( [,) o. i ) ` k ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = i -> ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8281prodeq2ad 39824 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h = i -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8382cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . 11 |- ( h e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. h ) ` k ) ) ) = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8434, 83eqtri 2644 . . . . . . . . . 10 |- L = ( i e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. i ) ` k ) ) )
8565biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
86853ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
8786ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) /\ n e. NN ) -> A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
88 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
89 rspa 2930 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
9087, 88, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) /\ n e. NN ) -> ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) )
91 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
92 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = m -> ( f ` q ) = ( f ` m ) )
9392fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = m -> ( 1st ` ( f ` q ) ) = ( 1st ` ( f ` m ) ) )
9493fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = m -> ( g ` ( 1st ` ( f ` q ) ) ) = ( g ` ( 1st ` ( f ` m ) ) ) )
9592fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( q = m -> ( 2nd ` ( f ` q ) ) = ( 2nd ` ( f ` m ) ) )
9694, 95fveq12d 6197 . . . . . . . . . . 11 |- ( q = m -> ( ( g ` ( 1st ` ( f ` q ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` q ) ) ) = ( ( g ` ( 1st ` ( f ` m ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` m ) ) ) )
9796cbvmptv 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( q e. NN |-> ( ( g ` ( 1st ` ( f ` q ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` q ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( g ` ( 1st ` ( f ` m ) ) ) ` ( 2nd ` ( f ` m ) ) ) )
9871, 73, 75, 77, 78, 33, 84, 35, 90, 91, 97ovnsubaddlem1 40784 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. q e. NN ( g ` q ) e. ( ( D ` ( A ` q ) ) ` ( E / ( 2 ^ q ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
9956, 57, 68, 69, 98syl31anc 1329 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
10099ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
101100exlimdv 1861 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
10255, 101mpi 20 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
10352, 53, 54, 102syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
104103ex 450 . . 3 |- ( ph -> ( ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
105104exlimdv 1861 . 2 |- ( ph -> ( E. g ( g Fn NN /\ A. n e. NN ( g ` n ) e. ( ( D ` ( A ` n ) ) ` ( E / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) ) )
10651, 105mpd 15 1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` U_ n e. NN ( A ` n ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( (voln* ` X ) ` ( A ` n ) ) ) ) +e E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,)cico 12177   ^cexp 12860   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^csumge0 40579  voln*covoln 40750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751
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