Theorem axcc4dom 9263

Description: Relax the constraint on axcc4 9261 to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc4dom.1	|- A e. _V
axcc4dom.2	|- ( x = ( f ` n ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
axcc4dom	|- ( ( N ~<_ om /\ A. n e. N E. x e. A ph ) -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) )

Distinct variable groups:   A, f, n, x   f, N, n   ph, f   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   ps( f, n)   N( x)

Proof of Theorem axcc4dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7985	. . 3 |- ( N ~<_ om <-> ( N ~< om \/ N ~~ om ) )
2		isfinite 8549	. . . . 5 |- ( N e. Fin <-> N ~< om )
3		axcc4dom.2	. . . . . . 7 |- ( x = ( f ` n ) -> ( ph <-> ps ) )
4	3	ac6sfi 8204	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ A. n e. N E. x e. A ph ) -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) )
5	4	ex 450	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
6	2, 5	sylbir 225	. . . 4 |- ( N ~< om -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
7		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( A. n e. N E. x e. A ph <-> A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) E. x e. A ph ) )
8		feq2 6027	. . . . . . . 8 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( f : N --> A <-> f : if ( N ~~ om , N , om ) --> A ) )
9		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( A. n e. N ps <-> A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) ps ) )
10	8, 9	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) <-> ( f : if ( N ~~ om , N , om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) ps ) ) )
11	10	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) <-> E. f ( f : if ( N ~~ om , N , om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) ps ) ) )
12	7, 11	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) <-> ( A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) E. x e. A ph -> E. f ( f : if ( N ~~ om , N , om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) ps ) ) ) )
13		axcc4dom.1	. . . . . 6 |- A e. _V
14		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( N = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( N ~~ om <-> if ( N ~~ om , N , om ) ~~ om ) )
15		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( om = if ( N ~~ om , N , om ) -> ( om ~~ om <-> if ( N ~~ om , N , om ) ~~ om ) )
16		omex 8540	. . . . . . . 8 |- om e. _V
17	16	enref 7988	. . . . . . 7 |- om ~~ om
18	14, 15, 17	elimhyp 4146	. . . . . 6 |- if ( N ~~ om , N , om ) ~~ om
19	13, 18, 3	axcc4 9261	. . . . 5 |- ( A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) E. x e. A ph -> E. f ( f : if ( N ~~ om , N , om ) --> A /\ A. n e. if ( N ~~ om , N , om ) ps ) )
20	12, 19	dedth 4139	. . . 4 |- ( N ~~ om -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
21	6, 20	jaoi 394	. . 3 |- ( ( N ~< om \/ N ~~ om ) -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
22	1, 21	sylbi 207	. 2 |- ( N ~<_ om -> ( A. n e. N E. x e. A ph -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) ) )
23	22	imp 445	1 |- ( ( N ~<_ om /\ A. n e. N E. x e. A ph ) -> E. f ( f : N --> A /\ A. n e. N ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  2ndcctbss  21258  2ndcsep  21262  iscmet3  23091  heiborlem3  33612