Theorem ballotlem7 30597

Description: R is a bijection between two subsets of ( O \ E ): one where a vote for A is picked first, and one where a vote for B is picked first. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlem7	|- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   S, k, i, c   R, i, k   x, c, F   x, M   x, N, k, i

Allowed substitution hints:   P( x, i, k, c)   R( x, c)   S( x)   E( x)   I( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlem7

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.r	. . 3 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
2	1	funmpt2 5927	. 2 |- Fun R
3		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
4		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
5		ballotth.o	. . 3 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
6		ballotth.p	. . 3 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
7		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
8		ballotth.e	. . 3 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
9		ballotth.mgtn	. . 3 |- N < M
10		ballotth.i	. . 3 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
11		ballotth.s	. . 3 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotlemrinv 30595	. 2 |- `' R = R
13		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) )
14	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotlemrc 30592	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
16	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlem1c 30569	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. ( I ` c ) e. c )
17	16	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. ( I ` c ) e. c ) )
18	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1	ballotlem1ri 30596	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. ( R ` c ) <-> ( I ` c ) e. c ) )
19	18	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. ( R ` c ) <-> -. ( I ` c ) e. c ) )
20	17, 19	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( 1 e. c -> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
21	20	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> -. 1 e. ( R ` c ) )
22	15, 21	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
23	13, 22	sylbi 207	. . . . 5 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
24	23	rgen 2922	. . . 4 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) )
25		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( b = ( R ` c ) -> ( 1 e. b <-> 1 e. ( R ` c ) ) )
26	25	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( b = ( R ` c ) -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. ( R ` c ) ) )
27	26	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) )
28		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( b = c -> ( 1 e. b <-> 1 e. c ) )
29	28	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( b = c -> ( -. 1 e. b <-> -. 1 e. c ) )
30	29	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
31	30	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | -. 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
32	27, 31	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
33	32	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
34	24, 33	mpbi 220	. . 3 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
35		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ ( O \ E )
36		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( S ` c ) e. _V
37		imaexg 7103	. . . . . . 7 |- ( ( S ` c ) e. _V -> ( ( S ` c ) " c ) e. _V )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( S ` c ) " c ) e. _V
39	38, 1	dmmpti 6023	. . . . 5 |- dom R = ( O \ E )
40	35, 39	sseqtr4i 3638	. . . 4 |- { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R
41		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
42		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ c { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
43		nfmpt1 4747	. . . . . 6 |- F/_ c ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
44	1, 43	nfcxfr 2762	. . . . 5 |- F/_ c R
45	41, 42, 44	funimass4f 29437	. . . 4 |- ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) )
46	2, 40, 45	mp2an 708	. . 3 |- ( ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } )
47	34, 46	mpbir 221	. 2 |- ( R " { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }
48		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } <-> ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) )
49	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( R ` c ) e. ( O \ E ) )
50	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ballotlemic 30568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( I ` c ) e. c )
51	50	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> ( I ` c ) e. c ) )
52	51, 18	sylibrd 249	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. c -> 1 e. ( R ` c ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> 1 e. ( R ` c ) )
54	49, 53	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( c e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. c ) -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
55	48, 54	sylbi 207	. . . . 5 |- ( c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } -> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
56	55	rgen 2922	. . . 4 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) )
57	25	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) )
58	28	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } = { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
59	58	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( ( R ` c ) e. { b e. ( O \ E ) | 1 e. b } <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
60	57, 59	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
61	60	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( ( R ` c ) e. ( O \ E ) /\ 1 e. ( R ` c ) ) <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
62	56, 61	mpbi 220	. . 3 |- A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
63		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ ( O \ E )
64	63, 39	sseqtr4i 3638	. . . 4 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R
65	42, 41, 44	funimass4f 29437	. . . 4 |- ( ( Fun R /\ { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } C_ dom R ) -> ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) )
66	2, 64, 65	mp2an 708	. . 3 |- ( ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } <-> A. c e. { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ( R ` c ) e. { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } )
67	62, 66	mpbir 221	. 2 |- ( R " { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } ) C_ { c e. ( O \ E ) | 1 e. c }
68	2, 12, 47, 67, 40, 64	rinvf1o 29432	1 |- ( R |` { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } ) : { c e. ( O \ E ) | 1 e. c } -1-1-onto-> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c }

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlem8  30598