Theorem ballotlemic 30568

Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemic	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. C )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I   k, c, E   i, I

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . 3 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . 3 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		eldifi 3732	. . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
7	6	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> C e. O )
8		ballotth.e	. . . . . . . . . 10 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
9		ballotth.mgtn	. . . . . . . . . 10 |- N < M
10		ballotth.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10	ballotlemiex 30563	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
12	11	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
13		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. NN )
16	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10	ballotlemi1 30564	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) =/= 1 )
17		eluz2b3 11762	. . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( I ` C ) e. NN /\ ( I ` C ) =/= 1 ) )
18	15, 16, 17	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
19		uz2m1nn 11763	. . . . 5 |- ( ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
21	20	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
22		elnnuz 11724	. . . . . . 7 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN <-> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	22	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		eluzfz1 12348	. . . . . 6 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
25	20, 23, 24	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
27		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. NN )
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 28	ballotlemfp1 30553	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( -. 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
30	29	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) ) )
31	30	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) )
32		1m1e0 11089	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
33	32	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` 0 )
34	33	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 )
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 ) )
36	1, 2, 3, 4, 5	ballotlemfval0 30557	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. O -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
37	6, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
40	31, 35, 39	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( 0 - 1 ) = ( ( F ` C ) ` 1 ) )
41		0le1 10551	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
42		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
43		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
44		suble0 10542	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 0 - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ 1 ) )
45	42, 43, 44	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( 0 - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ 1 )
46	41, 45	mpbir 221	. . . . . 6 |- ( 0 - 1 ) <_ 0
47	40, 46	syl6eqbrr 4693	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 )
48	47	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 )
49		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` 1 ) )
50	49	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 ) )
51	50	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 ) -> E. i e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
52	26, 48, 51	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> E. i e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
53		0lt1 10550	. . . . 5 |- 0 < 1
54		1p0e1 11133	. . . . . 6 |- ( 1 + 0 ) = 1
55	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	ballotlemfp1 30553	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( -. ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
56	55	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
57	56	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) )
58	11	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
60	57, 59	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) = 0 )
61	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> C e. O )
62	14	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
64		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. ZZ )
65	63, 64	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
66	1, 2, 3, 4, 5, 61, 65	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) e. ZZ )
67	66	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) e. CC )
68		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. CC )
69		0cnd 10033	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 e. CC )
70	67, 68, 69	subaddd 10410	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) = 0 <-> ( 1 + 0 ) = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
71	60, 70	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( 1 + 0 ) = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
72	54, 71	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
73	53, 72	syl5breq 4690	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
74	73	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
75	1, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 52, 74	ballotlemfc0 30554	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
76	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10	ballotlemimin 30567	. . 3 |- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
77	76	ad2antrr 762	. 2 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
78	75, 77	condan 835	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlem7  30597