Theorem bpos1lem 25007

Description: Lemma for bpos1 25008. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos1.1	|- ( E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> ph )
bpos1.2	|- ( N e. ( ZZ>= ` P ) -> ph )
bpos1.3	|- P e. Prime
bpos1.4	|- A e. NN0
bpos1.5	|- ( A x. 2 ) = B
bpos1.6	|- A < P
bpos1.7	|- ( P < B \/ P = B )

Assertion

Ref	Expression
bpos1lem	|- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ph )

Distinct variable groups:   N, p   P, p

Allowed substitution hints:   ph( p)   A( p)   B( p)

Proof of Theorem bpos1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos1.3	. . . . . 6 |- P e. Prime
2		prmnn 15388	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- P e. NN
4	3	nnzi 11401	. . . 4 |- P e. ZZ
5		eluzelz 11697	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. ZZ )
6		eluz 11701	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` P ) <-> P <_ N ) )
7	4, 5, 6	sylancr 695	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( N e. ( ZZ>= ` P ) <-> P <_ N ) )
8		bpos1.2	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` P ) -> ph )
9	7, 8	syl6bir 244	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( P <_ N -> ph ) )
10	3	nnrei 11029	. . . . . . . 8 |- P e. RR
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> P e. RR )
12		bpos1.5	. . . . . . . . 9 |- ( A x. 2 ) = B
13		bpos1.4	. . . . . . . . . . 11 |- A e. NN0
14	13	nn0rei 11303	. . . . . . . . . 10 |- A e. RR
15		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
16	14, 15	remulcli 10054	. . . . . . . . 9 |- ( A x. 2 ) e. RR
17	12, 16	eqeltrri 2698	. . . . . . . 8 |- B e. RR
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> B e. RR )
19		eluzelre 11698	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> N e. RR )
20		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
21	15, 19, 20	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
22		bpos1.7	. . . . . . . . 9 |- ( P < B \/ P = B )
23	10, 17	leloei 10154	. . . . . . . . 9 |- ( P <_ B <-> ( P < B \/ P = B ) )
24	22, 23	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- P <_ B
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> P <_ B )
26	13	nn0cni 11304	. . . . . . . . 9 |- A e. CC
27		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
28	26, 27, 12	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. A ) = B
29		eluzle 11700	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> A <_ N )
30		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
31	15, 30	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
32		lemul2 10876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A <_ N <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. N ) ) )
33	14, 31, 32	mp3an13 1415	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( A <_ N <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. N ) ) )
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A <_ N <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. N ) ) )
35	29, 34	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. N ) )
36	28, 35	syl5eqbrr 4689	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> B <_ ( 2 x. N ) )
37	11, 18, 21, 25, 36	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> P <_ ( 2 x. N ) )
38	37	anim2i 593	. . . . 5 |- ( ( N < P /\ N e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( N < P /\ P <_ ( 2 x. N ) ) )
39		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( N < p <-> N < P ) )
40		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( p = P -> ( p <_ ( 2 x. N ) <-> P <_ ( 2 x. N ) ) )
41	39, 40	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( p = P -> ( ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) <-> ( N < P /\ P <_ ( 2 x. N ) ) ) )
42	41	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( N < P /\ P <_ ( 2 x. N ) ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
43	1, 38, 42	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( N < P /\ N e. ( ZZ>= ` A ) ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
44		bpos1.1	. . . 4 |- ( E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> ph )
45	43, 44	syl 17	. . 3 |- ( ( N < P /\ N e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ph )
46	45	expcom 451	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( N < P -> ph ) )
47		lelttric 10144	. . 3 |- ( ( P e. RR /\ N e. RR ) -> ( P <_ N \/ N < P ) )
48	10, 19, 47	sylancr 695	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ( P <_ N \/ N < P ) )
49	9, 46, 48	mpjaod 396	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` A ) -> ph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  bpos1  25008