Theorem eluzelre 11698

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
2	1	zred 11482	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888   RRcr 9935   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  eluzelcn  11699  uzm1  11718  uzsplit  12412  fzneuz  12421  fzouzsplit  12503  fzouzdisj  12504  eluzgtdifelfzo  12529  elfzonelfzo  12570  fldiv4lem1div2uz2  12637  mulp1mod1  12711  m1modge3gt1  12717  om2uzlt2i  12750  bernneq3  12992  hashfzp1  13218  seqcoll  13248  seqcoll2  13249  rexuzre  14092  rlimclim1  14276  climrlim2  14278  isprm5  15419  isprm7  15420  ncoprmlnprm  15436  dfphi2  15479  pclem  15543  pcmpt  15596  pockthg  15610  prmlem1  15814  prmlem2  15827  setsstructOLD  15899  mtest  24158  logbleb  24521  isppw  24840  chtdif  24884  chtub  24937  fsumvma2  24939  chpval2  24943  bpos1lem  25007  bpos1  25008  gausslemma2dlem4  25094  chebbnd1lem1  25158  dchrisumlem2  25179  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  crctcshwlkn0lem5  26706  fzspl  29550  supfz  31613  nn0prpwlem  32317  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  rmspecnonsq  37472  rmspecfund  37474  rmspecpos  37481  rmxypos  37514  ltrmynn0  37515  ltrmxnn0  37516  jm2.24nn  37526  jm2.17a  37527  jm2.17b  37528  jm2.17c  37529  jm3.1lem1  37584  jm3.1lem2  37585  climsuselem1  39839  climsuse  39840  limsupequzlem  39954  limsupmnfuzlem  39958  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  itgspltprt  40195  stoweidlem14  40231  wallispilem3  40284  stirlinglem11  40301  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  iccpartigtl  41359  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtno4prmfac  41484  lighneallem4a  41525  gboge9  41652  nnsum3primesle9  41682  bgoldbnnsum3prm  41692  bgoldbtbndlem3  41695  bgoldbtbndlem4  41696  bgoldbtbnd  41697  expnegico01  42308  fllog2  42362  dignn0ldlem  42396  dignnld  42397  digexp  42401  dignn0flhalf  42412