Theorem bpos1 25008

Description: Bertrand's postulate, checked numerically for N <_ 6 4, using the prime sequence 2 , 3 , 5 , 7 , 1 3 , 2 3 , 4 3 , 8 3. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bpos1	|- ( ( N e. NN /\ N <_ ; 6 4 ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem bpos1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 11724	. . 3 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2		ax-1 6	. . . 4 |- ( E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
3		6nn0 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 6 e. NN0
4		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. NN0
5	3, 4	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ; 6 4 e. NN0
6	5	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 6 4 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 6 4 e. RR )
8		8nn0 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 e. NN0
9		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN0
10	8, 9	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ; 8 3 e. NN0
11	10	nn0rei 11303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 8 3 e. RR
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 8 3 e. RR )
13		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> N e. RR )
14		4lt10 11678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 4 < ; 1 0
15		6lt8 11216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 6 < 8
16	3, 8, 4, 9, 14, 15	decltc 11532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 6 4 < ; 8 3
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 6 4 < ; 8 3 )
18		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 8 3 <_ N )
19	7, 12, 13, 17, 18	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ; 6 4 < N )
20		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (; 6 4 e. RR /\ N e. RR ) -> (; 6 4 < N <-> -. N <_ ; 6 4 ) )
21	6, 13, 20	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> (; 6 4 < N <-> -. N <_ ; 6 4 ) )
22	19, 21	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> -. N <_ ; 6 4 )
23	22	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 8 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
24		83prm 15830	. . . . . . . . . . 11 |- ; 8 3 e. Prime
25	4, 9	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 |- ; 4 3 e. NN0
26		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 4 3 = ; 4 3
28		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 x. 2 ) = 8
29		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 x. 2 ) = 6
30	26, 4, 9, 27, 3, 28, 29	decmul1 11585	. . . . . . . . . . 11 |- (; 4 3 x. 2 ) = ; 8 6
31		3lt10 11679	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < ; 1 0
32		4lt8 11218	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 < 8
33	4, 8, 9, 9, 31, 32	decltc 11532	. . . . . . . . . . 11 |- ; 4 3 < ; 8 3
34		6nn 11189	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
35		3lt6 11206	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 < 6
36	8, 9, 34, 35	declt 11530	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 8 3 < ; 8 6
37	36	orci 405	. . . . . . . . . . 11 |- (; 8 3 < ; 8 6 \/ ; 8 3 = ; 8 6 )
38	2, 23, 24, 25, 30, 33, 37	bpos1lem 25007	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 4 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
39		43prm 15829	. . . . . . . . . 10 |- ; 4 3 e. Prime
40	26, 9	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 3 e. NN0
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ; 2 3 = ; 2 3
42		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 2 ) = 4
43	26, 26, 9, 41, 3, 42, 29	decmul1 11585	. . . . . . . . . 10 |- (; 2 3 x. 2 ) = ; 4 6
44		2lt4 11198	. . . . . . . . . . 11 |- 2 < 4
45	26, 4, 9, 9, 31, 44	decltc 11532	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 3 < ; 4 3
46	4, 9, 34, 35	declt 11530	. . . . . . . . . . 11 |- ; 4 3 < ; 4 6
47	46	orci 405	. . . . . . . . . 10 |- (; 4 3 < ; 4 6 \/ ; 4 3 = ; 4 6 )
48	2, 38, 39, 40, 43, 45, 47	bpos1lem 25007	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 2 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
49		23prm 15826	. . . . . . . . 9 |- ; 2 3 e. Prime
50		1nn0 11308	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
51	50, 9	deccl 11512	. . . . . . . . 9 |- ; 1 3 e. NN0
52		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 3 = ; 1 3
53		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
54	53	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 2 ) = 2
55	26, 50, 9, 52, 3, 54, 29	decmul1 11585	. . . . . . . . 9 |- (; 1 3 x. 2 ) = ; 2 6
56		1lt2 11194	. . . . . . . . . 10 |- 1 < 2
57	50, 26, 9, 9, 31, 56	decltc 11532	. . . . . . . . 9 |- ; 1 3 < ; 2 3
58	26, 9, 34, 35	declt 11530	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 3 < ; 2 6
59	58	orci 405	. . . . . . . . 9 |- (; 2 3 < ; 2 6 \/ ; 2 3 = ; 2 6 )
60	2, 48, 49, 51, 55, 57, 59	bpos1lem 25007	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
61		13prm 15823	. . . . . . . 8 |- ; 1 3 e. Prime
62		7nn0 11314	. . . . . . . 8 |- 7 e. NN0
63		7t2e14 11648	. . . . . . . 8 |- ( 7 x. 2 ) = ; 1 4
64		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
65		7lt10 11675	. . . . . . . . 9 |- 7 < ; 1 0
66	64, 9, 62, 65	declti 11546	. . . . . . . 8 |- 7 < ; 1 3
67		4nn 11187	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. NN
68		3lt4 11197	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
69	50, 9, 67, 68	declt 11530	. . . . . . . . 9 |- ; 1 3 < ; 1 4
70	69	orci 405	. . . . . . . 8 |- (; 1 3 < ; 1 4 \/ ; 1 3 = ; 1 4 )
71	2, 60, 61, 62, 63, 66, 70	bpos1lem 25007	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 7 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
72		7prm 15817	. . . . . . 7 |- 7 e. Prime
73		5nn0 11312	. . . . . . 7 |- 5 e. NN0
74		5t2e10 11634	. . . . . . 7 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
75		5lt7 11210	. . . . . . 7 |- 5 < 7
76	65	orci 405	. . . . . . 7 |- ( 7 < ; 1 0 \/ 7 = ; 1 0 )
77	2, 71, 72, 73, 74, 75, 76	bpos1lem 25007	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
78		5prm 15815	. . . . . 6 |- 5 e. Prime
79		3lt5 11201	. . . . . 6 |- 3 < 5
80		5lt6 11204	. . . . . . 7 |- 5 < 6
81	80	orci 405	. . . . . 6 |- ( 5 < 6 \/ 5 = 6 )
82	2, 77, 78, 9, 29, 79, 81	bpos1lem 25007	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
83		3prm 15406	. . . . 5 |- 3 e. Prime
84		2lt3 11195	. . . . 5 |- 2 < 3
85	68	orci 405	. . . . 5 |- ( 3 < 4 \/ 3 = 4 )
86	2, 82, 83, 26, 42, 84, 85	bpos1lem 25007	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
87		2prm 15405	. . . 4 |- 2 e. Prime
88		eqid 2622	. . . . 5 |- 2 = 2
89	88	olci 406	. . . 4 |- ( 2 < 2 \/ 2 = 2 )
90	2, 86, 87, 50, 54, 56, 89	bpos1lem 25007	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
91	1, 90	sylbi 207	. 2 |- ( N e. NN -> ( N <_ ; 6 4 -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) ) )
92	91	imp 445	1 |- ( ( N e. NN /\ N <_ ; 6 4 ) -> E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  bpos  25018