Theorem brdom6disj 9354

Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 5-Apr-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
brdom7disj.1	|- A e. _V
brdom7disj.2	|- B e. _V
brdom7disj.3	|- ( A i^i B ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
brdom6disj	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom6disj

Dummy variables g v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom7disj.2	. . 3 |- B e. _V
2	1	brdom5 9351	. 2 |- ( A ~<_ B <-> E. g ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
3		zfpair2 4907	. . . . . . . . . 10 |- { x , y } e. _V
4		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { x , y } -> ( v = { z , w } <-> { x , y } = { z , w } ) )
5	4	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = { x , y } -> ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
6		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z g w <-> <. z , w >. e. g )
7	6	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) <-> ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) )
8	5, 7	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = { x , y } -> ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) ) )
9	8	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . 10 |- ( v = { x , y } -> ( E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) ) )
10	3, 9	elab 3350	. . . . . . . . 9 |- ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) )
11		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
12		brdom7disj.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i B ) = (/)
13	11, 12	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i A ) = (/)
14		disjne 4022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B i^i A ) = (/) /\ x e. B /\ w e. A ) -> x =/= w )
15	13, 14	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> x =/= w )
16		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
17		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. _V
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
20	16, 17, 18, 19	opthpr 4384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= w -> ( { x , y } = { z , w } <-> ( x = z /\ y = w ) ) )
21	15, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( { x , y } = { z , w } <-> ( x = z /\ y = w ) ) )
22		breq12 4658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( x g y <-> z g w ) )
23	22	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = z /\ y = w ) -> ( z g w -> x g y ) )
24	21, 23	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( { x , y } = { z , w } -> ( z g w -> x g y ) ) )
25	24	impd 447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) -> x g y ) )
26	25	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( w e. A -> ( ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) -> x g y ) ) )
27	26	adantrd 484	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B -> ( ( w e. A /\ z e. B ) -> ( ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) -> x g y ) ) )
28	27	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( E. w e. A E. z e. B ( { x , y } = { z , w } /\ z g w ) -> x g y ) )
29	10, 28	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( x e. B -> ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> x g y ) )
30	29	alrimiv 1855	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> A. y ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> x g y ) )
31		moim 2519	. . . . . . 7 |- ( A. y ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> x g y ) -> ( E* y x g y -> E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( E* y x g y -> E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
33	32	ralimia 2950	. . . . 5 |- ( A. x e. B E* y x g y -> A. x e. B E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } )
34		zfpair2 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- { y , x } e. _V
35		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { y , x } -> ( v = { z , w } <-> { y , x } = { z , w } ) )
36	35	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { y , x } -> ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
37	36	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = { y , x } -> ( E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
38	34, 37	elab 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) )
39		disjne 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B i^i A ) = (/) /\ z e. B /\ x e. A ) -> z =/= x )
40	13, 39	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. B /\ x e. A ) -> z =/= x )
41	40	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> z =/= x )
42	18, 19, 17, 16	opthpr 4384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z =/= x -> ( { z , w } = { y , x } <-> ( z = y /\ w = x ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( { z , w } = { y , x } <-> ( z = y /\ w = x ) ) )
44		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { y , x } = { z , w } <-> { z , w } = { y , x } )
45		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w = x /\ z = y ) <-> ( z = y /\ w = x ) )
46	43, 44, 45	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( { y , x } = { z , w } <-> ( w = x /\ z = y ) ) )
47	6	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. z , w >. e. g <-> z g w )
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( <. z , w >. e. g <-> z g w ) )
49	46, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
50	49	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. A -> ( E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( E. w e. A E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
52	38, 51	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
54		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( z g w <-> z g x ) )
55		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( z g x <-> y g x ) )
56	54, 55	ceqsrex2v 3338	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) <-> y g x ) )
57	53, 56	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> y g x ) )
58	57	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. y e. B y g x ) )
59	58	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> A. x e. A E. y e. B y g x )
60	59	biimpri 218	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B y g x -> A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } )
61		brdom7disj.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
62		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { { z , w } } e. _V
63		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) -> v = { z , w } )
64	63	ss2abi 3674	. . . . . . . . 9 |- { v | ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } C_ { v | v = { z , w } }
65		df-sn 4178	. . . . . . . . 9 |- { { z , w } } = { v | v = { z , w } }
66	64, 65	sseqtr4i 3638	. . . . . . . 8 |- { v | ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } C_ { { z , w } }
67	62, 66	ssexi 4803	. . . . . . 7 |- { v | ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } e. _V
68	61, 1, 67	ab2rexex2 7160	. . . . . 6 |- { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } e. _V
69		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( { x , y } e. f <-> { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
70	69	mobidv 2491	. . . . . . . 8 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( E* y { x , y } e. f <-> E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
71	70	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( A. x e. B E* y { x , y } e. f <-> A. x e. B E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
72		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( { y , x } e. f <-> { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
73	72	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( E. y e. B { y , x } e. f <-> E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
74	73	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f <-> A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
75	71, 74	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) <-> ( A. x e. B E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) ) )
76	68, 75	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( A. x e. B E* y { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) -> E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
77	33, 60, 76	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) -> E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
78	77	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. g ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) -> E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
79		preq1 4268	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> { w , z } = { x , z } )
80	79	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( { w , z } e. f <-> { x , z } e. f ) )
81		preq2 4269	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> { x , z } = { x , y } )
82	81	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( { x , z } e. f <-> { x , y } e. f ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { <. w , z >. | { w , z } e. f } = { <. w , z >. | { w , z } e. f }
84	16, 17, 80, 82, 83	brab 4998	. . . . . . 7 |- ( x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y <-> { x , y } e. f )
85	84	mobii 2493	. . . . . 6 |- ( E* y x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y <-> E* y { x , y } e. f )
86	85	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. B E* y x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y <-> A. x e. B E* y { x , y } e. f )
87		preq1 4268	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> { w , z } = { y , z } )
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( { w , z } e. f <-> { y , z } e. f ) )
89		preq2 4269	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> { y , z } = { y , x } )
90	89	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( { y , z } e. f <-> { y , x } e. f ) )
91	17, 16, 88, 90, 83	brab 4998	. . . . . . 7 |- ( y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x <-> { y , x } e. f )
92	91	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x <-> E. y e. B { y , x } e. f )
93	92	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x <-> A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f )
94		df-opab 4713	. . . . . . 7 |- { <. w , z >. | { w , z } e. f } = { v | E. w E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) }
95		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. f e. _V
96	19	prid1 4297	. . . . . . . . . . 11 |- w e. { w , z }
97		elunii 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. { w , z } /\ { w , z } e. f ) -> w e. U. f )
98	96, 97	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( { w , z } e. f -> w e. U. f )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> w e. U. f )
100	99	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> w e. U. f )
101	18	prid2 4298	. . . . . . . . . . 11 |- z e. { w , z }
102		elunii 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. { w , z } /\ { w , z } e. f ) -> z e. U. f )
103	101, 102	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( { w , z } e. f -> z e. U. f )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> z e. U. f )
105		df-sn 4178	. . . . . . . . . . 11 |- { <. w , z >. } = { v | v = <. w , z >. }
106		snex 4908	. . . . . . . . . . 11 |- { <. w , z >. } e. _V
107	105, 106	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . 10 |- { v | v = <. w , z >. } e. _V
108		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> v = <. w , z >. )
109	108	ss2abi 3674	. . . . . . . . . 10 |- { v | ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } C_ { v | v = <. w , z >. }
110	107, 109	ssexi 4803	. . . . . . . . 9 |- { v | ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } e. _V
111	95, 104, 110	abexex 7151	. . . . . . . 8 |- { v | E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } e. _V
112	95, 100, 111	abexex 7151	. . . . . . 7 |- { v | E. w E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } e. _V
113	94, 112	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- { <. w , z >. | { w , z } e. f } e. _V
114		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( x g y <-> x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y ) )
115	114	mobidv 2491	. . . . . . . 8 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( E* y x g y <-> E* y x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y ) )
116	115	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( A. x e. B E* y x g y <-> A. x e. B E* y x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y ) )
117		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( y g x <-> y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) )
118	117	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( E. y e. B y g x <-> E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) )
119	118	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( A. x e. A E. y e. B y g x <-> A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) )
120	116, 119	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) <-> ( A. x e. B E* y x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y /\ A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) ) )
121	113, 120	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( A. x e. B E* y x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y /\ A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) -> E. g ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
122	86, 93, 121	syl2anbr 497	. . . 4 |- ( ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) -> E. g ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
123	122	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) -> E. g ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
124	78, 123	impbii 199	. 2 |- ( E. g ( A. x e. B E* y x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) <-> E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
125	2, 124	bitri 264	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x e. B E* y { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E*wmo 2471   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  grothprim  9656