Theorem ccatmulgnn0dir 30619

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 17571 (although applying mulgnn0dir 17571 would require S to be a set). In this case A is <" K "> to the power M in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	|- A = ( ( 0..^ M ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.b	|- B = ( ( 0..^ N ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.c	|- C = ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } )
ccatmulgnn0dir.k	|- ( ph -> K e. S )
ccatmulgnn0dir.m	|- ( ph -> M e. NN0 )
ccatmulgnn0dir.n	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	|- ( ph -> ( A ++ B ) = C )

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( ( 0..^ M ) X. { K } )
2	1	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` A ) = ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) )
3		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ M ) e. Fin
4		snfi 8038	. . . . . . . . 9 |- { K } e. Fin
5		hashxp 13221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 0..^ M ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) )
7	2, 6	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( # ` A ) = ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) )
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
9		hashfzo0 13217	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ M ) ) = M )
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. S )
12		hashsng 13159	. . . . . . . . 9 |- ( K e. S -> ( # ` { K } ) = 1 )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` { K } ) = 1 )
14	10, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ M ) ) x. ( # ` { K } ) ) = ( M x. 1 ) )
15	7, 14	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` A ) = ( M x. 1 ) )
16	8	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
17	16	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. 1 ) = M )
18	15, 17	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` A ) = M )
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( ( 0..^ N ) X. { K } )
20	19	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` B ) = ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) )
21		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ N ) e. Fin
22		hashxp 13221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { K } e. Fin ) -> ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) ) )
23	21, 4, 22	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 0..^ N ) X. { K } ) ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) )
24	20, 23	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( # ` B ) = ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) )
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
26		hashfzo0 13217	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( 0..^ N ) ) = N )
28	27, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( # ` ( 0..^ N ) ) x. ( # ` { K } ) ) = ( N x. 1 ) )
29	24, 28	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` B ) = ( N x. 1 ) )
30	25	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
31	30	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
32	29, 31	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` B ) = N )
33	18, 32	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) = ( M + N ) )
34	33	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) = ( 0..^ ( M + N ) ) )
35		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ph )
36		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
37	18	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0..^ M ) )
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` A ) ) = ( 0..^ M ) )
39	36, 38	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
40		fconstg 6092	. . . . . . . 8 |- ( K e. S -> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } )
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = ( ( 0..^ M ) X. { K } ) )
43	42	feq1d 6030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A : ( 0..^ M ) --> { K } <-> ( ( 0..^ M ) X. { K } ) : ( 0..^ M ) --> { K } ) )
44	41, 43	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> A : ( 0..^ M ) --> { K } )
45		fvconst 6431	. . . . . 6 |- ( ( A : ( 0..^ M ) --> { K } /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A ` i ) = K )
46	44, 45	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A ` i ) = K )
47	35, 39, 46	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( A ` i ) = K )
48		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ph )
49		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) )
50		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) )
51	18, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` A ) e. NN0 )
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
54	32, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN0 )
55	48, 54	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` B ) e. NN0 )
56	55	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
57		fzocatel 12531	. . . . . . 7 |- ( ( ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) /\ ( ( # ` A ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ ( # ` B ) ) )
59	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0..^ N ) )
60	48, 59	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( 0..^ ( # ` B ) ) = ( 0..^ N ) )
61	58, 60	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) )
62		fconstg 6092	. . . . . . . 8 |- ( K e. S -> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
63	11, 62	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } )
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( ( 0..^ N ) X. { K } ) )
65	64	feq1d 6030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B : ( 0..^ N ) --> { K } <-> ( ( 0..^ N ) X. { K } ) : ( 0..^ N ) --> { K } ) )
66	63, 65	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> B : ( 0..^ N ) --> { K } )
67		fvconst 6431	. . . . . 6 |- ( ( B : ( 0..^ N ) --> { K } /\ ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
68	66, 67	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i - ( # ` A ) ) e. ( 0..^ N ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
69	48, 61, 68	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) /\ -. i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) ) -> ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) = K )
70	47, 69	ifeqda 4121	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) ) -> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) = K )
71	34, 70	mpteq12dva 4732	. 2 |- ( ph -> ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) ) = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K ) )
72		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 0..^ M ) e. _V
73		snex 4908	. . . . 5 |- { K } e. _V
74	72, 73	xpex 6962	. . . 4 |- ( ( 0..^ M ) X. { K } ) e. _V
75	1, 74	eqeltri 2697	. . 3 |- A e. _V
76		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. _V
77	76, 73	xpex 6962	. . . 4 |- ( ( 0..^ N ) X. { K } ) e. _V
78	19, 77	eqeltri 2697	. . 3 |- B e. _V
79		ccatfval 13358	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ++ B ) = ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) ) )
80	75, 78, 79	mp2an 708	. 2 |- ( A ++ B ) = ( i e. ( 0..^ ( ( # ` A ) + ( # ` B ) ) ) |-> if ( i e. ( 0..^ ( # ` A ) ) , ( A ` i ) , ( B ` ( i - ( # ` A ) ) ) ) )
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 |- C = ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } )
82		fconstmpt 5163	. . 3 |- ( ( 0..^ ( M + N ) ) X. { K } ) = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K )
83	81, 82	eqtri 2644	. 2 |- C = ( i e. ( 0..^ ( M + N ) ) |-> K )
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> ( A ++ B ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  ofcccat  30620