Theorem ccatmulgnn0dir 30619

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 17571 (although applying mulgnn0dir 17571 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b	⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c	⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
ccatmulgnn0dir.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
2	1	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝐴) = (#‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
4		snfi 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
5		hashxp 13221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾})))
6	3, 4, 5	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾}))
7	2, 6	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐴) = ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾}))
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		hashfzo0 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
12		hashsng 13159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → (#‘{𝐾}) = 1)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝐾}) = 1)
14	10, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(0..^𝑀)) · (#‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
15	7, 14	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = (𝑀 · 1))
16	8	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	mulid1d 10057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
18	15, 17	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝑀)
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
20	19	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝐵) = (#‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21		fzofi 12773	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
22		hashxp 13221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (#‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾})))
23	21, 4, 22	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾}))
24	20, 23	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ (#‘𝐵) = ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾}))
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		hashfzo0 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
28	27, 13	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(0..^𝑁)) · (#‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
29	24, 28	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 1))
30	25	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	mulid1d 10057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
32	29, 31	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) = 𝑁)
33	18, 32	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
34	33	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35		simpll 790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝜑)
36		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
37	18	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0..^𝑀))
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (0..^(#‘𝐴)) = (0..^𝑀))
39	36, 38	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40		fconstg 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
43	42	feq1d 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
44	41, 43	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45		fvconst 6431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
46	44, 45	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
47	35, 39, 46	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
48		simpll 790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝜑)
49		simplr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
50		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
51	18, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
54	32, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	48, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 11480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzocatel 12531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 1327	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
59	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0..^𝑁))
60	48, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (0..^(#‘𝐵)) = (0..^𝑁))
61	58, 60	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62		fconstg 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
63	11, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
65	64	feq1d 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
66	63, 65	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67		fvconst 6431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
68	66, 67	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − (#‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
69	48, 61, 68	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))) = 𝐾)
70	47, 69	ifeqda 4121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴)))) = 𝐾)
71	34, 70	mpteq12dva 4732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ∈ V
73		snex 4908	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
74	72, 73	xpex 6962	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
75	1, 74	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
76		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
77	76, 73	xpex 6962	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
78	19, 77	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
79		ccatfval 13358	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴))))))
80	75, 78, 79	mp2an 708	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (#‘𝐴)))))
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82		fconstmpt 5163	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
83	81, 82	eqtri 2644	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2681	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ifcif 4086  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ..^cfzo 12465  #chash 13117   ++ cconcat 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-concat 13301

This theorem is referenced by:  ofcccat  30620