Theorem cff1 9080

Description: There is always a map from ( cf ` A ) to A (this is a stronger condition than the definition, which only presupposes a map from some y ~~ ( cf ` A ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cff1	|- ( A e. On -> E. f ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )

Distinct variable group:   A, f, w, z

Proof of Theorem cff1

Dummy variables s y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfval 9069	. . . 4 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) = |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } )
2		cardon 8770	. . . . . . . . 9 |- ( card ` y ) e. On
3		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( card ` y ) -> ( x e. On <-> ( card ` y ) e. On ) )
4	2, 3	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( x = ( card ` y ) -> x e. On )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> x e. On )
6	5	exlimiv 1858	. . . . . 6 |- ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> x e. On )
7	6	abssi 3677	. . . . 5 |- { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } C_ On
8		cflem 9068	. . . . . 6 |- ( A e. On -> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) )
9		abn0 3954	. . . . . 6 |- ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } =/= (/) <-> E. x E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) )
10	8, 9	sylibr 224	. . . . 5 |- ( A e. On -> { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } =/= (/) )
11		onint 6995	. . . . 5 |- ( ( { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } C_ On /\ { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } =/= (/) ) -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } )
12	7, 10, 11	sylancr 695	. . . 4 |- ( A e. On -> |^| { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } )
13	1, 12	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( A e. On -> ( cf ` A ) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } )
14		fvex 6201	. . . 4 |- ( cf ` A ) e. _V
15		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( x = ( cf ` A ) -> ( x = ( card ` y ) <-> ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) )
16	15	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( x = ( cf ` A ) -> ( ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) <-> ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) ) )
17	16	exbidv 1850	. . . 4 |- ( x = ( cf ` A ) -> ( E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) <-> E. y ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) ) )
18	14, 17	elab 3350	. . 3 |- ( ( cf ` A ) e. { x | E. y ( x = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) } <-> E. y ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) )
19	13, 18	sylib 208	. 2 |- ( A e. On -> E. y ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) )
20		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> ( cf ` A ) = ( card ` y ) )
21		onss 6990	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> A C_ On )
22		sstr 3611	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ A C_ On ) -> y C_ On )
23	21, 22	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A /\ A e. On ) -> y C_ On )
24	23	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ y C_ A ) -> y C_ On )
25	24	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> y C_ On )
26		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
27		onssnum 8863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. _V /\ y C_ On ) -> y e. dom card )
28	26, 27	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ On -> y e. dom card )
29		cardid2 8779	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom card -> ( card ` y ) ~~ y )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ On -> ( card ` y ) ~~ y )
31	30	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ y C_ On ) -> ( card ` y ) ~~ y )
32		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) -> ( ( cf ` A ) ~~ y <-> ( card ` y ) ~~ y ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ y C_ On ) -> ( ( cf ` A ) ~~ y <-> ( card ` y ) ~~ y ) )
34	31, 33	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ y C_ On ) -> ( cf ` A ) ~~ y )
35		bren 7964	. . . . . . 7 |- ( ( cf ` A ) ~~ y <-> E. f f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y )
36	34, 35	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ y C_ On ) -> E. f f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y )
37	20, 25, 36	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> E. f f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y )
38		f1of1 6136	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y -> f : ( cf ` A ) -1-1-> y )
39		f1ss 6106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( cf ` A ) -1-1-> y /\ y C_ A ) -> f : ( cf ` A ) -1-1-> A )
40	39	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ A /\ f : ( cf ` A ) -1-1-> y ) -> f : ( cf ` A ) -1-1-> A )
41	38, 40	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ A /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> f : ( cf ` A ) -1-1-> A )
42	41	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> f : ( cf ` A ) -1-1-> A )
43	42	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> f : ( cf ` A ) -1-1-> A )
44		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y -> f : ( cf ` A ) -onto-> y )
45		foelrn 6378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( cf ` A ) -onto-> y /\ s e. y ) -> E. w e. ( cf ` A ) s = ( f ` w ) )
46		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( f ` w ) -> ( z C_ s <-> z C_ ( f ` w ) ) )
47	46	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ s -> ( s = ( f ` w ) -> z C_ ( f ` w ) ) )
48	47	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ s -> ( E. w e. ( cf ` A ) s = ( f ` w ) -> E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
49	45, 48	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( cf ` A ) -onto-> y /\ s e. y ) -> ( z C_ s -> E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
50	49	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( cf ` A ) -onto-> y -> ( E. s e. y z C_ s -> E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
51	50	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( cf ` A ) -onto-> y -> ( A. z e. A E. s e. y z C_ s -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
52	44, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y -> ( A. z e. A E. s e. y z C_ s -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
53	52	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z e. A E. s e. y z C_ s /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) )
54	53	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) )
55	54	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) )
56	43, 55	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) /\ f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y ) -> ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
57	56	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> ( f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y -> ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) )
58	57	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> ( E. f f : ( cf ` A ) -1-1-onto-> y -> E. f ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) )
59	37, 58	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ ( cf ` A ) = ( card ` y ) ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )
60	59	expl 648	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) )
61	60	exlimdv 1861	. 2 |- ( A e. On -> ( E. y ( ( cf ` A ) = ( card ` y ) /\ ( y C_ A /\ A. z e. A E. s e. y z C_ s ) ) -> E. f ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) ) )
62	19, 61	mpd 15	1 |- ( A e. On -> E. f ( f : ( cf ` A ) -1-1-> A /\ A. z e. A E. w e. ( cf ` A ) z C_ ( f ` w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Oncon0 5723   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   cardccrd 8761   cfccf 8763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-card 8765  df-cf 8767

This theorem is referenced by:  cfsmolem  9092  cfcoflem  9094  cfcof  9096  alephreg  9404