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Theorem cfilresi 23093
Description: A Cauchy filter on a metric subspace extends to a Cauchy filter in the larger space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilresi |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> ( X filGen F ) e. (CauFil ` D ) )
Proof of Theorem cfilresi
Dummy variables u v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetres 22169 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) )
2 iscfil2 23064 . . . . 5 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) -> ( F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) <-> ( F e. ( Fil ` ( X i^i Y ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x ) ) )
32simplbda 654 . . . 4 |- ( ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x )
41, 3sylan 488 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x )
5 cfilfil 23065 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` ( X i^i Y ) ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> F e. ( Fil ` ( X i^i Y ) ) )
61, 5sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> F e. ( Fil ` ( X i^i Y ) ) )
7 filelss 21656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` ( X i^i Y ) ) /\ y e. F ) -> y C_ ( X i^i Y ) )
86, 7sylan 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) -> y C_ ( X i^i Y ) )
9 inss2 3834 . . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i Y ) C_ Y
108, 9syl6ss 3615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) -> y C_ Y )
1110sselda 3603 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) /\ u e. y ) -> u e. Y )
1210sselda 3603 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) /\ v e. y ) -> v e. Y )
1311, 12anim12dan 882 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) /\ ( u e. y /\ v e. y ) ) -> ( u e. Y /\ v e. Y ) )
14 ovres 6800 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. Y /\ v e. Y ) -> ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) = ( u D v ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) /\ ( u e. y /\ v e. y ) ) -> ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) = ( u D v ) )
1615breq1d 4663 . . . . . 6 |- ( ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) /\ ( u e. y /\ v e. y ) ) -> ( ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> ( u D v ) < x ) )
17162ralbidva 2988 . . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) /\ y e. F ) -> ( A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> A. u e. y A. v e. y ( u D v ) < x ) )
1817rexbidva 3049 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> ( E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u D v ) < x ) )
1918ralbidv 2986 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < x <-> A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u D v ) < x ) )
204, 19mpbid 222 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u D v ) < x )
21 filfbas 21652 . . . . 5 |- ( F e. ( Fil ` ( X i^i Y ) ) -> F e. ( fBas ` ( X i^i Y ) ) )
226, 21syl 17 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> F e. ( fBas ` ( X i^i Y ) ) )
23 filsspw 21655 . . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` ( X i^i Y ) ) -> F C_ ~P ( X i^i Y ) )
246, 23syl 17 . . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> F C_ ~P ( X i^i Y ) )
25 inss1 3833 . . . . . 6 |- ( X i^i Y ) C_ X
26 sspwb 4917 . . . . . 6 |- ( ( X i^i Y ) C_ X <-> ~P ( X i^i Y ) C_ ~P X )
2725, 26mpbi 220 . . . . 5 |- ~P ( X i^i Y ) C_ ~P X
2824, 27syl6ss 3615 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> F C_ ~P X )
29 elfvdm 6220 . . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X e. dom *Met )
3029adantr 481 . . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> X e. dom *Met )
31 fbasweak 21669 . . . 4 |- ( ( F e. ( fBas ` ( X i^i Y ) ) /\ F C_ ~P X /\ X e. dom *Met ) -> F e. ( fBas ` X ) )
3222, 28, 30, 31syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
33 fgcfil 23069 . . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( X filGen F ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u D v ) < x ) )
3432, 33syldan 487 . 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> ( ( X filGen F ) e. (CauFil ` D ) <-> A. x e. RR+ E. y e. F A. u e. y A. v e. y ( u D v ) < x ) )
3520, 34mpbird 247 1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) -> ( X filGen F ) e. (CauFil ` D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649  CauFilccfil 23050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-xmet 19739  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-cfil 23053
This theorem is referenced by:  cfilres  23094  cmetss  23113
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