Theorem cgracol 25719

Description: Angle congruence preserves colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgracol.p	|- P = ( Base ` G )
cgracol.i	|- I = (Itv ` G )
cgracol.m	|- .- = ( dist ` G )
cgracol.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
cgracol.a	|- ( ph -> A e. P )
cgracol.b	|- ( ph -> B e. P )
cgracol.c	|- ( ph -> C e. P )
cgracol.d	|- ( ph -> D e. P )
cgracol.e	|- ( ph -> E e. P )
cgracol.f	|- ( ph -> F e. P )
cgracol.1	|- ( ph -> <" A B C "> (cgrA ` G ) <" D E F "> )
cgracol.l	|- L = (LineG ` G )
cgracol.2	|- ( ph -> ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) )

Assertion

Ref	Expression
cgracol	|- ( ph -> ( F e. ( D L E ) \/ D = E ) )

Proof of Theorem cgracol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgracol.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( Base ` G )
2		cgracol.i	. . . . . . . . . 10 |- I = (Itv ` G )
3		cgracol.m	. . . . . . . . . 10 |- .- = ( dist ` G )
4		cgracol.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> G e. TarskiG )
6		cgracol.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. P )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> A e. P )
8		cgracol.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. P )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> B e. P )
10		cgracol.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. P )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> C e. P )
12		cgracol.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. P )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> D e. P )
14		cgracol.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. P )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> E e. P )
16		cgracol.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. P )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> F e. P )
18		cgracol.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <" A B C "> (cgrA ` G ) <" D E F "> )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> <" A B C "> (cgrA ` G ) <" D E F "> )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (hlG ` G ) = (hlG ` G )
21	1, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18	cgrane2 25705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B =/= C )
22	21	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C =/= B )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> C =/= B )
24	1, 2, 20, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18	cgrane1 25704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A =/= B )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> A =/= B )
26	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> G e. TarskiG )
27	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> A e. P )
28	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> C e. P )
29	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> B e. P )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> C e. ( A I B ) )
31	1, 3, 2, 26, 27, 28, 29, 30	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> C e. ( B I A ) )
32	31	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) )
33	23, 25, 32	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ C e. ( A I B ) ) -> ( C =/= B /\ A =/= B /\ ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) ) )
34	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> C =/= B )
35	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> A =/= B )
36	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> G e. TarskiG )
37	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> C e. P )
38	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> A e. P )
39	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> B e. P )
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> A e. ( C I B ) )
41	1, 3, 2, 36, 37, 38, 39, 40	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> A e. ( B I C ) )
42	41	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) )
43	34, 35, 42	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A e. ( C I B ) ) -> ( C =/= B /\ A =/= B /\ ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) ) )
44	33, 43	jaodan 826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( C =/= B /\ A =/= B /\ ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) ) )
45	1, 2, 20, 10, 6, 8, 4	ishlg 25497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C ( (hlG ` G ) ` B ) A <-> ( C =/= B /\ A =/= B /\ ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( C ( (hlG ` G ) ` B ) A <-> ( C =/= B /\ A =/= B /\ ( C e. ( B I A ) \/ A e. ( B I C ) ) ) ) )
47	44, 46	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> C ( (hlG ` G ) ` B ) A )
48	1, 2, 20, 11, 7, 9, 5, 47	hlcomd 25499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> A ( (hlG ` G ) ` B ) C )
49	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 48	cgrahl 25718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> D ( (hlG ` G ) ` E ) F )
50	1, 2, 20, 13, 17, 15, 5	ishlg 25497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( D ( (hlG ` G ) ` E ) F <-> ( D =/= E /\ F =/= E /\ ( D e. ( E I F ) \/ F e. ( E I D ) ) ) ) )
51	49, 50	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( D =/= E /\ F =/= E /\ ( D e. ( E I F ) \/ F e. ( E I D ) ) ) )
52	51	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( D e. ( E I F ) \/ F e. ( E I D ) ) )
53	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> G e. TarskiG )
54	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> E e. P )
55	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> D e. P )
56	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> F e. P )
57		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> D e. ( E I F ) )
58	1, 3, 2, 53, 54, 55, 56, 57	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> D e. ( F I E ) )
59	58	olcd 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ D e. ( E I F ) ) -> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) ) )
60	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> G e. TarskiG )
61	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> E e. P )
62	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> F e. P )
63	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> D e. P )
64		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> F e. ( E I D ) )
65	1, 3, 2, 60, 61, 62, 63, 64	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> F e. ( D I E ) )
66	65	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ F e. ( E I D ) ) -> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) ) )
67	59, 66	jaodan 826	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( D e. ( E I F ) \/ F e. ( E I D ) ) ) -> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) ) )
68	52, 67	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) ) )
69	68	orcd 407	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) ) \/ E e. ( D I F ) ) )
70		df-3or 1038	. . . . 5 |- ( ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) \/ E e. ( D I F ) ) <-> ( ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) ) \/ E e. ( D I F ) ) )
71	69, 70	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) \/ E e. ( D I F ) ) )
72		cgracol.l	. . . . . 6 |- L = (LineG ` G )
73	1, 2, 4, 20, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18	cgracom 25714	. . . . . . 7 |- ( ph -> <" D E F "> (cgrA ` G ) <" A B C "> )
74	1, 2, 20, 4, 12, 14, 16, 6, 8, 10, 73	cgrane1 25704	. . . . . 6 |- ( ph -> D =/= E )
75	1, 72, 2, 4, 12, 14, 74, 16	tgellng 25448	. . . . 5 |- ( ph -> ( F e. ( D L E ) <-> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) \/ E e. ( D I F ) ) ) )
76	75	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( F e. ( D L E ) <-> ( F e. ( D I E ) \/ D e. ( F I E ) \/ E e. ( D I F ) ) ) )
77	71, 76	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> F e. ( D L E ) )
78	77	orcd 407	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) ) -> ( F e. ( D L E ) \/ D = E ) )
79	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> G e. TarskiG )
80	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> D e. P )
81	14	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> E e. P )
82	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> F e. P )
83	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> A e. P )
84	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. P )
85	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> C e. P )
86	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> <" A B C "> (cgrA ` G ) <" D E F "> )
87		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> B e. ( A I C ) )
88	1, 2, 3, 79, 83, 84, 85, 80, 81, 82, 86, 87	cgrabtwn 25717	. . 3 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> E e. ( D I F ) )
89	1, 72, 2, 79, 80, 81, 82, 88	btwncolg3 25452	. 2 |- ( ( ph /\ B e. ( A I C ) ) -> ( F e. ( D L E ) \/ D = E ) )
90	24	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ph -> -. A = B )
91		cgracol.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C e. ( A L B ) \/ A = B ) )
92	91	orcomd 403	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A = B \/ C e. ( A L B ) ) )
93	92	ord 392	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. A = B -> C e. ( A L B ) ) )
94	90, 93	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( A L B ) )
95	1, 72, 2, 4, 6, 8, 24, 10	tgellng 25448	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. ( A L B ) <-> ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) \/ B e. ( A I C ) ) ) )
96	94, 95	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) \/ B e. ( A I C ) ) )
97		df-3or 1038	. . 3 |- ( ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) \/ B e. ( A I C ) ) <-> ( ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) \/ B e. ( A I C ) ) )
98	96, 97	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. ( A I B ) \/ A e. ( C I B ) ) \/ B e. ( A I C ) ) )
99	78, 89, 98	mpjaodan 827	1 |- ( ph -> ( F e. ( D L E ) \/ D = E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  hlGchlg 25495  cgrAccgra 25699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-hlg 25496  df-cgra 25700

This theorem is referenced by:  cgrancol  25720  tgasa1  25739